Pe planul de coordonate xoy. Sistem de coordonate dreptunghiular

Un sistem de coordonate dreptunghiular pe un plan este definit de două drepte reciproc perpendiculare. Liniile drepte se numesc axe de coordonate (sau axe de coordonate). Punctul de intersecție al acestor linii se numește origine și este desemnat prin litera O.

De obicei, una dintre linii este orizontală, cealaltă verticală. Linia orizontală este desemnată ca axa x (sau Ox) și se numește axa absciselor, linia verticală este axa y (Oy), numită axa ordonatelor. Întregul sistem de coordonate este desemnat xOy.

Punctul O împarte fiecare dintre axe în două semi-axe, dintre care una este considerată pozitivă (notat cu o săgeată), cealaltă - negativă.

Fiecărui punct F al planului i se atribuie o pereche de numere (x;y) - coordonatele sale.

Coordonata x se numește abscisă. Este egal cu Ox, luat cu semnul corespunzător.

Coordonata y se numește ordonată și este egală cu distanța de la punctul F la axa Oy (cu semnul corespunzător).

Distanțele dintre osii sunt de obicei (dar nu întotdeauna) măsurate în aceeași unitate de lungime.

Punctele situate în dreapta axei y au abscise pozitive. Punctele care se află în stânga axei ordonatelor au abscise negative. Pentru orice punct situat pe axa Oy, coordonata sa x este zero.

Punctele cu ordonată pozitivă se află deasupra axei x, iar punctele cu ordonată negativă se află mai jos. Dacă un punct se află pe axa Ox, coordonata lui y este zero.

Axele de coordonate împart planul în patru părți, care sunt numite sferturi de coordonate (sau unghiuri de coordonate sau cadrane).

1 sfert de coordonate situat în colțul din dreapta sus al planului de coordonate xOy. Ambele coordonate ale punctelor situate în primul trimestru sunt pozitive.

Trecerea de la un sfert la altul se realizează în sens invers acelor de ceasornic.

2 sfert de coordonate se află în colțul din stânga sus. Punctele situate în al doilea trimestru au o abscisă negativă și o ordonată pozitivă.

3 sfert de coordonate se află în cadranul din stânga jos al planului xOy. Ambele coordonate ale punctelor aparținând unghiului de coordonate III sunt negative.

4 sfert de coordonate este colțul din dreapta jos al planului de coordonate. Orice punct din trimestrul IV are o primă coordonată pozitivă și o secundă negativă.

Un exemplu de locație a punctelor într-un sistem de coordonate dreptunghiular:

Matematica este o știință destul de complexă. În timp ce îl studiezi, trebuie nu numai să rezolvi exemple și probleme, ci și să lucrezi cu diverse forme și chiar planuri. Unul dintre cele mai utilizate în matematică este sistemul de coordonate pe un plan. Copiii au fost învățați cum să lucreze corect cu acesta de mai bine de un an. Prin urmare, este important să știți ce este și cum să lucrați corect cu el.

Să ne dăm seama ce este acest sistem, ce acțiuni pot fi efectuate cu ajutorul său și, de asemenea, să aflăm principalele sale caracteristici și caracteristici.

Definiția conceptului

Un plan de coordonate este un plan pe care este specificat un anumit sistem de coordonate. Un astfel de plan este definit de două drepte care se intersectează în unghi drept. În punctul de intersecție al acestor linii se află originea coordonatelor. Fiecare punct din planul de coordonate este specificat de o pereche de numere numite coordonate.

ÎN curs şcolarÎn matematică, școlarii trebuie să lucreze destul de strâns cu sistemul de coordonate - să construiască figuri și puncte pe el, să stabilească cărui plan îi aparține această sau aceea coordonată, precum și să determine coordonatele unui punct și să le scrieți sau să le denumiți. Prin urmare, să vorbim mai detaliat despre toate caracteristicile coordonatelor. Dar mai întâi, să atingem istoria creației și apoi vom vorbi despre cum să lucrăm pe planul de coordonate.

Context istoric

Ideile despre crearea unui sistem de coordonate existau pe vremea lui Ptolemeu. Chiar și atunci, astronomii și matematicienii se gândeau cum să învețe să stabilească poziția unui punct pe un plan. Din nefericire, la acea vreme nu exista un sistem de coordonate cunoscut de noi, iar oamenii de știință au fost nevoiți să folosească alte sisteme.

Inițial, au specificat puncte folosind latitudinea și longitudinea. Multă vreme, aceasta a fost una dintre cele mai utilizate metode de a trasa cutare sau cutare informație pe o hartă. Dar în 1637, Rene Descartes și-a creat propriul sistem de coordonate, numit ulterior după cel „cartezian”.

Deja la sfârșitul secolului al XVII-lea. Conceptul de „plan de coordonate” a devenit utilizat pe scară largă în lumea matematicii. În ciuda faptului că au trecut câteva secole de la crearea acestui sistem, acesta este încă utilizat pe scară largă în matematică și chiar în viață.

Exemple de plan de coordonate

Înainte de a vorbi despre teorie, vom oferi câteva exemple vizuale ale planului de coordonate, astfel încât să vă puteți imagina. Sistemul de coordonate este folosit în principal în șah. Pe tablă, fiecare pătrat are propriile coordonate - o coordonată este alfabetică, a doua este digitală. Cu ajutorul acestuia puteți determina poziția unei anumite piese pe tablă.

Al doilea exemplu cel mai frapant este jocul îndrăgit de mulți „ Bătălie pe mare" Amintiți-vă cum, atunci când jucați, numiți o coordonată, de exemplu, B3, indicând astfel exact unde țintiți. În același timp, atunci când plasați nave, specificați puncte pe planul de coordonate.

Acest sistem de coordonate este utilizat pe scară largă nu numai în jocurile de matematică și logică, ci și în afaceri militare, astronomie, fizică și multe alte științe.

Axele de coordonate

După cum am menționat deja, există două axe în sistemul de coordonate. Să vorbim puțin despre ele, deoarece au o importanță considerabilă.

Prima axă este abscisă - orizontală. Se notează ca ( Bou). A doua axă este ordonata, care trece vertical prin punctul de referință și se notează ca ( Oi). Aceste două axe formează sistemul de coordonate, împărțind planul în patru sferturi. Originea este situată în punctul de intersecție al acestor două axe și ia valoarea 0 . Numai dacă planul este format din două axe care se intersectează perpendicular și au un punct de referință, este un plan de coordonate.

De asemenea, rețineți că fiecare dintre axe are propria sa direcție. De obicei, la construirea unui sistem de coordonate, se obișnuiește să se indice direcția axei sub forma unei săgeți. În plus, la construirea unui plan de coordonate, fiecare dintre axe este semnată.

Sferturi

Acum să spunem câteva cuvinte despre un astfel de concept precum sferturi din planul de coordonate. Avionul este împărțit în patru sferturi de două axe. Fiecare dintre ele are propriul său număr, iar avioanele sunt numerotate în sens invers acelor de ceasornic.

Fiecare dintre sferturi are propriile sale caracteristici. Deci, în primul trimestru abscisa și ordonata sunt pozitive, în al doilea trimestru abscisa este negativă, ordonata este pozitivă, în al treilea atât abscisa cât și ordonata sunt negative, în al patrulea abscisa este pozitivă și ordonata este negativă .

Reținând aceste caracteristici, puteți determina cu ușurință cărui sfert îi aparține un anumit punct. În plus, aceste informații vă pot fi utile dacă trebuie să faceți calcule folosind sistemul cartezian.

Lucrul cu planul de coordonate

Când am înțeles conceptul de avion și am vorbit despre sferturile sale, putem trece la o astfel de problemă precum lucrul cu acest sistem și, de asemenea, vorbim despre cum să punem puncte și coordonatele figurilor pe el. Pe planul de coordonate, acest lucru nu este atât de dificil de făcut pe cât ar părea la prima vedere.

În primul rând, sistemul în sine este construit, i se aplică toate denumirile importante. Apoi lucrăm direct cu puncte sau forme. În plus, chiar și atunci când se construiesc figuri, punctele sunt desenate mai întâi pe plan, apoi figurile sunt desenate.

Reguli pentru construirea unui avion

Dacă decideți să începeți să marcați forme și puncte pe hârtie, veți avea nevoie de un plan de coordonate. Pe ea sunt trasate coordonatele punctelor. Pentru a construi un plan de coordonate, aveți nevoie doar de o riglă și de un pix sau creion. Mai întâi, este desenată axa x orizontală, apoi este desenată axa verticală. Este important să ne amintim că axele se intersectează în unghi drept.

Următorul element obligatoriu este aplicarea marcajelor. Pe fiecare dintre axe în ambele direcții, segmentele de unitate sunt marcate și etichetate. Acest lucru se face astfel încât să puteți lucra apoi cu avionul cu confort maxim.

Marcați un punct

Acum să vorbim despre cum să trasăm coordonatele punctelor pe planul de coordonate. Acestea sunt elementele de bază pe care trebuie să le cunoașteți pentru a plasa cu succes o varietate de forme pe un plan și chiar pentru a marca ecuații.

Când construiți puncte, ar trebui să vă amintiți cum sunt scrise corect coordonatele acestora. Deci, de obicei, atunci când se specifică un punct, două numere sunt scrise între paranteze. Prima cifră indică coordonatele punctului de-a lungul axei absciselor, a doua - de-a lungul axei ordonatelor.

Punctul ar trebui să fie construit în acest fel. Primul marcaj pe axă Bou punct specificat, apoi marcați punctul pe axă Oi. Apoi, trageți linii imaginare din aceste denumiri și găsiți locul în care se intersectează - acesta va fi punctul dat.

Tot ce trebuie să faci este să o marchezi și să o semnezi. După cum puteți vedea, totul este destul de simplu și nu necesită abilități speciale.

Așezați figura

Acum să trecem la problema construcției figurilor pe un plan de coordonate. Pentru a construi orice figură pe planul de coordonate, ar trebui să știți cum să plasați puncte pe ea. Dacă știi cum să faci asta, atunci plasarea unei figurine într-un avion nu este atât de dificilă.

În primul rând, veți avea nevoie de coordonatele punctelor figurii. În conformitate cu acestea, le vom aplica pe cele alese de dvs. în sistemul nostru de coordonate Să luăm în considerare aplicarea unui dreptunghi, a unui triunghi și a unui cerc.

Să începem cu un dreptunghi. Este destul de ușor de aplicat. Mai întâi, patru puncte sunt marcate pe plan, indicând colțurile dreptunghiului. Apoi, toate punctele sunt conectate secvenţial între ele.

Desenarea unui triunghi nu este diferită. Singurul lucru este că are trei unghiuri, ceea ce înseamnă că trei puncte sunt marcate pe plan, indicând vârfurile acestuia.

În ceea ce privește cerc, ar trebui să cunoașteți coordonatele a două puncte. Primul punct este centrul cercului, al doilea este punctul care indică raza acestuia. Aceste două puncte sunt reprezentate pe plan. Apoi luați o busolă și măsurați distanța dintre două puncte. Punctul busolei este plasat în punctul care marchează centrul și este descris un cerc.

După cum puteți vedea, nici aici nu este nimic complicat, principalul lucru este că aveți întotdeauna o riglă și o busolă la îndemână.

Acum știi cum să trasezi coordonatele figurilor. A face acest lucru pe planul de coordonate nu este atât de dificil pe cât ar părea la prima vedere.

Concluzii

Așadar, ne-am uitat la unul dintre cele mai interesante și de bază concepte de matematică cu care trebuie să se confrunte fiecare școlar.

Am aflat că planul de coordonate este un plan format prin intersecția a două axe. Cu ajutorul acestuia, puteți seta coordonatele punctelor și puteți desena forme pe el. Avionul este împărțit în sferturi, fiecare având propriile caracteristici.

Principala abilitate care ar trebui dezvoltată atunci când lucrați cu un plan de coordonate este abilitatea de a reprezenta corect punctele date pe acesta. Pentru a face acest lucru, ar trebui să cunoașteți locația corectă a axelor, caracteristicile sferturilor, precum și regulile prin care sunt specificate coordonatele punctelor.

Sperăm că informațiile pe care le-am prezentat au fost accesibile și ușor de înțeles și, de asemenea, v-au fost utile și v-au ajutat să înțelegeți mai bine acest subiect.

Un sistem ordonat de două sau trei axe care se intersectează perpendiculare între ele cu o origine comună (originea coordonatelor) și o unitate comună de lungime se numește sistem de coordonate carteziene dreptunghiulare .

Sistemul general de coordonate carteziene (sistem de coordonate afine) poate să nu includă neapărat axe perpendiculare. În onoarea matematicianului francez Rene Descartes (1596-1662), acest sistem de coordonate este numit în care unitatea comună de lungime este măsurată pe toate axele, iar axele sunt drepte.

Sistem de coordonate carteziene dreptunghiulare pe un plan are două axe și sistem de coordonate carteziene dreptunghiulare în spațiu - trei axe. Fiecare punct dintr-un plan sau din spațiu este definit de un set ordonat de coordonate - numere corespunzătoare unității de lungime a sistemului de coordonate.

Rețineți că, după cum reiese din definiție, există un sistem de coordonate carteziene pe o linie dreaptă, adică într-o singură dimensiune. Introducerea coordonatelor carteziene pe o dreaptă este una dintre modalitățile prin care orice punct de pe o dreaptă este asociat cu un număr real bine definit, adică o coordonată.

Metoda coordonatelor, care a apărut în lucrările lui Rene Descartes, a marcat o restructurare revoluționară a întregii matematici. A devenit posibil să se interpreteze ecuații algebrice(sau inegalități) sub formă de imagini geometrice (grafice) și, invers, să caute soluții la probleme geometrice folosind formule analitice și sisteme de ecuații. Da, inegalitate z < 3 геометрически означает полупространство, лежащее ниже плоскости, параллельной координатной плоскости xOy si situat deasupra acestui plan cu 3 unitati.

Folosind sistemul de coordonate carteziene, apartenența unui punct pe o curbă dată corespunde faptului că numerele xŞi y satisface o anumită ecuație. Astfel, coordonatele unui punct dintr-un cerc cu un centru într-un punct dat ( o; b) satisface ecuația (x - o)² + ( y - b)² = R² .

Sistem de coordonate carteziene dreptunghiulare pe un plan

Două axe perpendiculare pe un plan cu o origine comună și aceeași formă de unitate de scară Sistem de coordonate carteziene dreptunghiulare pe plan . Una dintre aceste axe se numește axa Bou, sau axa x , celălalt - axa Oi, sau axa y . Aceste axe sunt numite și axe de coordonate. Să notăm prin MxŞi My respectiv proiecţia unui punct arbitrar M pe axa BouŞi Oi. Cum să obțineți proiecții? Să trecem prin punct M Bou. Această linie dreaptă intersectează axa Bou la punct Mx. Să trecem prin punct M linie dreaptă perpendiculară pe axă Oi. Această linie dreaptă intersectează axa Oi la punct My. Acest lucru este arătat în imaginea de mai jos.

xŞi y puncte M vom numi valorile segmentelor direcționate în consecință OMxŞi OMy. Valorile acestor segmente direcționate sunt calculate în consecință ca x = x0 - 0 Şi y = y0 - 0 . coordonate carteziene xŞi y puncte M abscisă Şi ordonată . Faptul că punctul M are coordonate xŞi y, se notează după cum urmează: M(x, y) .

Axele de coordonate împart planul în patru cadran , a cărui numerotare este prezentată în figura de mai jos. De asemenea, arată aranjarea semnelor pentru coordonatele punctelor în funcție de locația lor într-un anumit cadran.

Pe lângă coordonatele dreptunghiulare carteziene dintr-un plan, sistemul de coordonate polar este adesea luat în considerare. Despre metoda de trecere de la un sistem de coordonate la altul - în lecție sistemul de coordonate polare .

Sistem de coordonate carteziene dreptunghiulare în spațiu

Coordonatele carteziene din spațiu sunt introduse în totală analogie cu coordonatele carteziene din plan.

Trei axe reciproc perpendiculare în spațiu (axe de coordonate) cu o origine comună O iar cu aceeași unitate de scară formează Sistem de coordonate carteziene dreptunghiulare în spațiu .

Una dintre aceste axe se numește axă Bou, sau axa x , celălalt - axa Oi, sau axa y , a treia - axa Oz, sau axa aplicate . Lasă Mx, My Mz- proiecții ale unui punct arbitrar M spatiu pe axa Bou , OiŞi Oz respectiv.

Să trecem prin punct M BouBou la punct Mx. Să trecem prin punct M plan perpendicular pe ax Oi. Acest plan intersectează axa Oi la punct My. Să trecem prin punct M plan perpendicular pe ax Oz. Acest plan intersectează axa Oz la punct Mz.

Coordonate dreptunghiulare carteziene x , yŞi z puncte M vom numi valorile segmentelor direcționate în consecință OMx, OMyŞi OMz. Valorile acestor segmente direcționate sunt calculate în consecință ca x = x0 - 0 , y = y0 - 0 Şi z = z0 - 0 .

coordonate carteziene x , yŞi z puncte M sunt numite în consecință abscisă , ordonată Şi aplica .

Axele de coordonate luate în perechi sunt situate în planuri de coordonate xOy , yOzŞi zOx .

Probleme despre puncte dintr-un sistem de coordonate carteziene

Exemplul 1.

O(2; -3) ;

B(3; -1) ;

C(-5; 1) .

Găsiți coordonatele proiecțiilor acestor puncte pe axa absciselor.

Soluţie. După cum reiese din partea teoretică a acestei lecții, proiecția unui punct pe axa absciselor este situată pe axa absciselor însăși, adică pe axa Bou, și, prin urmare, are o abscisă egală cu abscisa punctului însuși și o ordonată (coordonată pe axă Oi, pe care axa x o intersectează în punctul 0), care este egal cu zero. Deci obținem următoarele coordonate ale acestor puncte pe axa x:

Ox(2;0);

Bx(3;0);

Cx (-5; 0).

Exemplul 2.În sistemul de coordonate carteziene, punctele sunt date pe plan

O(-3; 2) ;

B(-5; 1) ;

C(3; -2) .

Găsiți coordonatele proiecțiilor acestor puncte pe axa ordonatelor.

Soluţie. După cum reiese din partea teoretică a acestei lecții, proiecția unui punct pe axa ordonatelor este situată pe axa ordonatelor însăși, adică axa Oi, și, prin urmare, are o ordonată egală cu ordonata punctului însuși și o abscisă (coordonată pe axă Bou, pe care axa ordonatelor o intersectează în punctul 0), care este egal cu zero. Deci obținem următoarele coordonate ale acestor puncte pe axa ordonatelor:

Oy(0;2);

By(0;1);

Cy(0;-2).

Exemplul 3.În sistemul de coordonate carteziene, punctele sunt date pe plan

O(2; 3) ;

B(-3; 2) ;

C(-1; -1) .

Bou .

Bou Bou Bou, va avea aceeași abscisă ca și punctul dat și o ordonată egală în valoare absolută cu ordonata punctului dat și opusă în semn. Deci obținem următoarele coordonate ale punctelor simetrice față de aceste puncte în raport cu axa Bou :

O"(2; -3) ;

B"(-3; -2) ;

C"(-1; 1) .

Rezolvați singur problemele folosind sistemul de coordonate carteziene, apoi uitați-vă la soluții

Exemplul 4. Determinați în ce cadrane (sferturi, desen cu cadrane - la sfârșitul paragrafului „Sistem de coordonate carteziene dreptunghiulare pe un plan”) poate fi localizat un punct M(x; y) , Dacă

1) xy > 0 ;

2) xy < 0 ;

3) x − y = 0 ;

4) x + y = 0 ;

5) x + y > 0 ;

6) x + y < 0 ;

7) x − y > 0 ;

8) x − y < 0 .

Exemplul 5.În sistemul de coordonate carteziene, punctele sunt date pe plan

O(-2; 5) ;

B(3; -5) ;

C(o; b) .

Găsiți coordonatele punctelor simetrice față de aceste puncte în raport cu axa Oi .

Să continuăm să rezolvăm problemele împreună

Exemplul 6.În sistemul de coordonate carteziene, punctele sunt date pe plan

O(-1; 2) ;

B(3; -1) ;

C(-2; -2) .

Găsiți coordonatele punctelor simetrice față de aceste puncte în raport cu axa Oi .

Soluţie. Rotiți cu 180 de grade în jurul axei Oi segment de direcție față de axă Oi până în acest punct. În figură, unde sunt indicate cadranele planului, vedem că punctul simetric față de cel dat în raport cu axa Oi, va avea aceeași ordonată ca și punctul dat și o abscisă egală în valoare absolută cu abscisa punctului dat și opusă în semn. Deci obținem următoarele coordonate ale punctelor simetrice față de aceste puncte relativ la axă Oi :

O"(1; 2) ;

B"(-3; -1) ;

C"(2; -2) .

Exemplul 7.În sistemul de coordonate carteziene, punctele sunt date pe plan

O(3; 3) ;

B(2; -4) ;

C(-2; 1) .

Găsiți coordonatele punctelor simetrice față de aceste puncte relativ la origine.

Soluţie. Rotim segmentul direcționat mergând de la origine la punctul dat cu 180 de grade în jurul originii. În figură, unde sunt indicate cadranele planului, vedem că un punct simetric față de punctul dat relativ la originea coordonatelor va avea o abscisă și ordonată egale în valoare absolută cu abscisa și ordonata punctului dat, dar opus în semn. Deci obținem următoarele coordonate ale punctelor simetrice față de aceste puncte relativ la origine:

O"(-3; -3) ;

B"(-2; 4) ;

C(2; -1) .

Exemplul 8.

O(4; 3; 5) ;

B(-3; 2; 1) ;

C(2; -3; 0) .

Găsiți coordonatele proiecțiilor acestor puncte:

1) într-un avion Oxy ;

2) într-un avion Oxz ;

3) la avion Oyz ;

4) pe axa absciselor;

5) pe axa ordonatelor;

6) pe axa aplicată.

1) Proiectia unui punct pe un plan Oxy este situat pe acest plan însuși și, prin urmare, are o abscisă și ordonată egale cu abscisa și ordonata unui punct dat și o aplicație egală cu zero. Deci obținem următoarele coordonate ale proiecțiilor acestor puncte pe Oxy :

Oxy (4; 3; 0);

Bxy (-3; 2; 0);

Cxy(2;-3;0).

2) Proiectia unui punct pe un plan Oxz este situat pe acest plan însuși și, prin urmare, are o abscisă și aplicată egale cu abscisa și aplicatul unui punct dat și o ordonată egală cu zero. Deci obținem următoarele coordonate ale proiecțiilor acestor puncte pe Oxz :

Oxz (4; 0; 5);

Bxz (-3; 0; 1);

Cxz (2; 0; 0).

3) Proiectia unui punct pe un plan Oyz este situat pe acest plan însuși și, prin urmare, are o ordonată și aplicată egale cu ordonata și aplicata unui punct dat și o abscisă egală cu zero. Deci obținem următoarele coordonate ale proiecțiilor acestor puncte pe Oyz :

Oyz(0; 3; 5);

Byz (0; 2; 1);

Cyz (0; -3; 0).

4) După cum reiese din partea teoretică a acestei lecții, proiecția unui punct pe axa absciselor este situată pe axa absciselor însăși, adică pe axa Bou, și, prin urmare, are o abscisă egală cu abscisa punctului însuși, iar ordonata și aplicata proiecției sunt egale cu zero (deoarece axele ordonatelor și aplicate intersectează abscisa în punctul 0). Obținem următoarele coordonate ale proiecțiilor acestor puncte pe axa absciselor:

Ox (4; 0; 0);

Bx (-3; 0; 0);

Cx(2;0;0).

5) Proiecția unui punct pe axa ordonatelor este situată pe axa ordonatelor însăși, adică axa Oi, și, prin urmare, are o ordonată egală cu ordonata punctului însuși, iar abscisa și aplicația proiecției sunt egale cu zero (deoarece abscisa și axele aplicate intersectează axa ordonatelor în punctul 0). Obținem următoarele coordonate ale proiecțiilor acestor puncte pe axa ordonatelor:

Oy(0; 3; 0);

By (0; 2; 0);

Cy(0;-3;0).

6) Proiecția unui punct pe axa aplicată este situată pe axa aplicată însăși, adică axa Oz, și, prin urmare, are o aplicație egală cu aplicata punctului însuși, iar abscisa și ordonata proiecției sunt egale cu zero (deoarece abscisa și axele ordonatelor intersectează axa aplicată în punctul 0). Obținem următoarele coordonate ale proiecțiilor acestor puncte pe axa aplicată:

Oz (0; 0; 5);

Bz (0; 0; 1);

Cz(0; 0; 0).

Exemplul 9.În sistemul de coordonate carteziene, punctele sunt date în spațiu

O(2; 3; 1) ;

B(5; -3; 2) ;

C(-3; 2; -1) .

Aflați coordonatele punctelor simetrice față de aceste puncte în raport cu:

1) avion Oxy ;

2) avioane Oxz ;

3) avioane Oyz ;

4) axele de abscisă;

5) axele ordonate;

6) aplicați axe;

7) originea coordonatelor.

1) „Mutați” punctul de pe cealaltă parte a axei Oxy Oxy, va avea o abscisă și ordonată egale cu abscisa și ordonata unui punct dat și o aplicată egală ca mărime cu aplicata unui punct dat, dar opus ca semn. Deci, obținem următoarele coordonate ale punctelor simetrice față de datele relativ la plan Oxy :

O"(2; 3; -1) ;

B"(5; -3; -2) ;

C"(-3; 2; 1) .

2) „Mutați” punctul de pe cealaltă parte a axei Oxz la aceeași distanță. Din figura care afișează spațiul de coordonate, vedem că un punct simetric față de unul dat în raport cu axa Oxz, va avea o abscisă și aplicată egale cu abscisa și aplicata unui punct dat și o ordonată egală ca mărime cu ordonata unui punct dat, dar opus ca semn. Deci, obținem următoarele coordonate ale punctelor simetrice față de datele relativ la plan Oxz :

O"(2; -3; 1) ;

B"(5; 3; 2) ;

C"(-3; -2; -1) .

3) „Mutați” punctul de pe cealaltă parte a axei Oyz la aceeași distanță. Din figura care afișează spațiul de coordonate, vedem că un punct simetric față de unul dat în raport cu axa Oyz, va avea o ordonata si o aplicata egale cu ordonata si o aplicata a unui punct dat, si o abscisa egala ca valoare cu abscisa unui punct dat, dar opus ca semn. Deci, obținem următoarele coordonate ale punctelor simetrice față de datele relativ la plan Oyz :

O"(-2; 3; 1) ;

B"(-5; -3; 2) ;

C"(3; 2; -1) .

Prin analogie cu punctele simetrice de pe un plan și punctele din spațiu care sunt simetrice față de datele referitoare la planuri, observăm că, în cazul simetriei față de o anumită axă a sistemului de coordonate carteziene din spațiu, coordonatele de pe axă față de care este dată simetria își va păstra semnul, iar coordonatele celorlalte două axe vor fi aceleași ca valoare absolută cu coordonatele unui punct dat, dar opuse ca semn.

4) Abscisa își va păstra semnul, dar ordonata și aplicatul își vor schimba semnele. Deci, obținem următoarele coordonate ale punctelor simetrice cu datele referitoare la axa absciselor:

O"(2; -3; -1) ;

B"(5; 3; -2) ;

C"(-3; -2; 1) .

5) Ordonata își va păstra semnul, dar abscisa și aplicatul își vor schimba semnele. Deci, obținem următoarele coordonate ale punctelor simetrice față de datele relativ la axa ordonatelor:

O"(-2; 3; -1) ;

B"(-5; -3; -2) ;

C"(3; 2; 1) .

6) Aplicatul își va păstra semnul, dar abscisa și ordonata își vor schimba semnele. Deci, obținem următoarele coordonate ale punctelor simetrice față de datele referitoare la axa aplicată:

O"(-2; -3; 1) ;

B"(-5; 3; 2) ;

C"(3; -2; -1) .

7) Prin analogie cu simetria în cazul punctelor de pe un plan, în cazul simetriei cu privire la originea coordonatelor, toate coordonatele unui punct simetric cu unul dat vor fi egale în valoare absolută cu coordonatele unui punct dat, dar opus în semn. Deci, obținem următoarele coordonate ale punctelor simetrice cu datele referitoare la origine.

Să fie dat ecuație cu două variabile F(x; y). Te-ai familiarizat deja cu modalități de a rezolva astfel de ecuații analitic. Multe soluții ale unor astfel de ecuații pot fi reprezentate sub formă de grafic.

Graficul ecuației F(x; y) este mulțimea punctelor din planul de coordonate xOy ale căror coordonate satisfac ecuația.

Pentru a reprezenta grafic ecuații în două variabile, mai întâi exprimați variabila y din ecuație în termeni ai variabilei x.

Cu siguranță știi deja să construiești diverse grafice de ecuații cu două variabile: ax + b = c – linie dreaptă, yx = k – hiperbola, (x – a) 2 + (y – b) 2 = R 2 – cerc a cărui rază este egal cu R, iar centrul este în punctul O(a; b).

Exemplul 1.

Reprezentați grafic ecuația x 2 – 9y 2 = 0.

Soluţie.

Să factorizăm partea stângă a ecuației.

(x – 3y)(x+ 3y) = 0, adică y = x/3 sau y = -x/3.

Răspuns: Figura 1.

Un loc aparte îl ocupă definirea figurilor pe un plan cu ecuații care conțin semnul valorii absolute, asupra cărora ne vom opri în detaliu. Să luăm în considerare etapele construcției graficelor ecuațiilor de forma |y| = f(x) și |y| = |f(x)|.

Prima ecuație este echivalentă cu sistemul

(f(x) ≥ 0,
(y = f(x) sau y = -f(x).

Adică, graficul său este format din grafice a două funcții: y = f(x) și y = -f(x), unde f(x) ≥ 0.

Pentru a reprezenta graficul celei de-a doua ecuații, reprezentați grafic două funcții: y = f(x) și y = -f(x).

Exemplul 2.

Reprezentați grafic ecuația |y| = 2 + x.

Soluţie.

Ecuația dată este echivalentă cu sistemul

(x + 2 ≥ 0,
(y = x + 2 sau y = -x – 2.

Construim multe puncte.

Răspuns: Figura 2.

Exemplul 3.

Trasează ecuația |y – x| = 1.

Soluţie.

Dacă y ≥ x, atunci y = x + 1, dacă y ≤ x, atunci y = x – 1.

Răspuns: Figura 3.

Când se construiesc grafice ale ecuațiilor care conțin o variabilă sub semnul modulului, este convenabil și rațional să se utilizeze metoda zonei, bazat pe împărțirea planului de coordonate în părți în care fiecare expresie submodulară își păstrează semnul.

Exemplul 4.

Reprezentați grafic ecuația x + |x| + y + |y| = 2.

Soluţie.

În acest exemplu, semnul fiecărei expresii submodulare depinde de cadranul de coordonate.

1) În primul trimestru de coordonate x ≥ 0 și y ≥ 0. După extinderea modulului, ecuația dată va arăta astfel:

2x + 2y = 2, iar după simplificare x + y = 1.

2) În al doilea trimestru, unde x< 0, а y ≥ 0, уравнение будет иметь вид: 0 + 2y = 2 или y = 1.

3) În trimestrul al treilea x< 0, y < 0 будем иметь: x – x + y – y = 2. Перепишем этот результат в виде уравнения 0 · x + 0 · y = 2.

4) În al patrulea trimestru, când x ≥ 0 și y< 0 получим, что x = 1.

Vom reprezenta această ecuație pe sferturi.

Răspuns: Figura 4.

Exemplul 5.

Desenați o mulțime de puncte ale căror coordonate satisfac egalitatea |x – 1| + |y – 1| = 1.

Soluţie.

Zerourile expresiilor submodulare x = 1 și y = 1 împart planul de coordonate în patru regiuni. Să defalcăm modulele în funcție de regiune. Să aranjam asta sub forma unui tabel.

Răspuns: Figura 5.

Pe planul de coordonate pot fi specificate cifre și inegalităților.

Graficul inegalității cu două variabile este mulțimea tuturor punctelor planului de coordonate ale căror coordonate sunt soluții la această inegalitate.

Să luăm în considerare algoritm pentru construirea unui model de rezolvare a inegalităților cu două variabile:

1. Scrieți ecuația corespunzătoare inegalității.
2. Reprezentați grafic ecuația de la pasul 1.
3. Selectați un punct arbitrar într-unul dintre semiplanuri. Verificați dacă coordonatele punctului selectat satisfac această inegalitate.
4. Desenați grafic mulțimea tuturor soluțiilor inegalității.

Să considerăm mai întâi inegalitatea ax + bx + c > 0. Ecuația ax + bx + c = 0 definește o dreaptă care împarte planul în două semiplane. În fiecare dintre ele, funcția f(x) = ax + bx + c își păstrează semnul. Pentru a determina acest semn, este suficient să luați orice punct aparținând semiplanului și să calculați valoarea funcției în acest punct. Dacă semnul funcției coincide cu semnul inegalității, atunci acest semiplan va fi soluția inegalității.

Să ne uităm la exemple solutie grafica cele mai frecvente inegalităţi cu două variabile.

1) ax + bx + c ≥ 0. Figura 6.

2) |x| ≤ a, a > 0. Figura 7.

3) x 2 + y 2 ≤ a, a > 0. Figura 8.

4) y ≥ x 2 . Figura 9.

5) xy ≤ 1. Figura 10.

Dacă aveți întrebări sau doriți să exersați desenarea pe un model plan a tuturor soluțiilor pentru inegalitățile din două variabile folosind modelare matematică, poți cheltui lecție gratuită de 25 de minute cu un tutor online dupa . Pentru a lucra în continuare cu un profesor, vei avea ocazia să-l alegi pe cel care ți se potrivește

Mai ai întrebări? Nu știi cum să desenezi o figură pe un plan de coordonate?
Pentru a primi ajutor de la un tutor -.
Prima lecție este gratuită!

blog.site, atunci când copiați materialul integral sau parțial, este necesar un link către sursa originală.

• Două drepte de coordonate reciproc perpendiculare care se intersectează în punctul O - originea referinței, formă sistem de coordonate dreptunghiular, numit și sistem de coordonate carteziene.
• Se numește planul pe care este ales sistemul de coordonate plan de coordonate. Liniile de coordonate sunt numite axele de coordonate. Axa orizontală este axa absciselor (Ox), axa verticală este axa ordonatelor (Oy).
• Axele de coordonate împart planul de coordonate în patru părți - sferturi. Numerele de serie ale sferturilor sunt de obicei numărate în sens invers acelor de ceasornic.
• Orice punct din planul de coordonate este specificat de coordonatele sale - abscisa si ordonata. De exemplu, A(3; 4). Citiți: punctul A cu coordonatele 3 și 4. Aici 3 este abscisa, 4 este ordonata.

I. Construcția punctului A(3; 4).

Abscisă 3 arată că de la începutul numărătorii inverse - punctele O trebuie mutate la dreapta 3 segment de unitate, apoi puneți-l 4 segment de unitate și pune un punct.

Acesta este punctul A(3; 4).

Construcția punctului B(-2; 5).

De la zero ne deplasăm spre stânga 2 un singur segment și apoi în sus 5 segmente unice.

Să punem capăt ÎN.

De obicei este luat un segment de unitate 1 celulă.

II. Construiți puncte în planul de coordonate xOy:

A (-3; 1);B(-1;-2);

C(-2:4);D (2; 3);

F(6:4);K(4; 0)

III. Determinați coordonatele punctelor construite: A, B, C, D, F, K.

A(-4; 3);B(-2; 0);

C(3; 4);D (6; 5);

F (0; -3);K (5; -2).