Cum se calculează rangul unui exemplu de matrice. Calculul rangului unei matrice folosind metoda transformărilor elementare (algoritmul Gauss)

Lasă un comentariu 6,950

Definiţie. Rangul matricei este numărul maxim de rânduri liniar independente considerate ca vectori.

Teorema 1 asupra rangului matricei. Rangul matricei se numește ordinul maxim al unui minor diferit de zero al unei matrice.

Am discutat deja despre conceptul de minor în lecția despre determinanți, dar acum îl vom generaliza. Să luăm un anumit număr de rânduri și un anumit număr de coloane în matrice, iar acest „câte” ar trebui să fie număr mai mic rânduri și coloane ale matricei, iar pentru rânduri și coloane acest „cât” trebuie să fie același număr. Apoi, la intersecția câte rânduri și câte coloane va exista o matrice de ordin mai mic decât matricea noastră originală. Determinantul este o matrice și va fi un minor de ordinul k, dacă „unele” menționat (numărul de rânduri și coloane) este notat cu k.

Definiţie. minor ( r Ordinul +1), în care se află minorul ales r-allea ordin se numește margine pentru un anumit minor.

Cele două metode cele mai frecvent utilizate sunt aflarea rangului matricei. Acest mod de a se învecina cu minoriiŞi metoda transformărilor elementare(metoda Gauss).

Când se folosește metoda minorilor limită, se folosește următoarea teoremă.

Teorema 2 asupra rangului matricei. Dacă un minor poate fi compus din elemente de matrice r de ordinul al-lea, nu este egal cu zero, atunci rangul matricei este egal cu r.

Când se utilizează metoda de transformare elementară, se utilizează următoarea proprietate:

Dacă prin transformări elementare se obține o matrice trapezoidală echivalentă cu cea originală, atunci rangul acestei matrice este numărul de linii din el, altele decât liniile formate în întregime din zerouri.

Găsirea rangului unei matrice folosind metoda limitării minorilor

Un minor care înglobează este un minor de ordin superior față de cel dat, dacă acest minor de ordin superior conține minorul dat.

De exemplu, având în vedere matricea

Să luăm un minor

Minorii limitrofe vor fi:

Algoritm pentru găsirea rangului unei matrice Următorul.

1. Găsiți minori de ordinul doi care nu sunt egali cu zero. Dacă toți minorii de ordinul doi sunt egali cu zero, atunci rangul matricei va fi egal cu unu ( r =1 ).

2. Dacă există cel puțin un minor de ordinul doi care nu este egal cu zero, atunci compunem minorii limitrofe de ordinul al treilea. Dacă toți minorii învecinați de ordinul al treilea sunt egali cu zero, atunci rangul matricei este egal cu doi ( r =2 ).

3. Dacă cel puțin unul dintre minorii învecinați de ordinul al treilea nu este egal cu zero, atunci compunem minorii învecinați. Dacă toți minorii învecinați de ordinul al patrulea sunt egali cu zero, atunci rangul matricei este egal cu trei ( r =2 ).

4. Continuați în acest fel atâta timp cât dimensiunea matricei o permite.

Exemplul 1. Aflați rangul unei matrice

Soluţie. Minor de ordinul doi .

Să o limităm. Vor fi patru minori în graniță:

Astfel, toți minorii de ordinul al treilea învecinați sunt egali cu zero, prin urmare, rangul acestei matrice este egal cu doi ( r =2 ).

Exemplul 2. Aflați rangul unei matrice

Soluţie. Rangul acestei matrice este egal cu 1, întrucât toți minorii de ordinul doi ai acestei matrice sunt egali cu zero (în aceasta, ca și în cazurile minorilor limitrofe din următoarele două exemple, dragi elevi sunt invitați să verifice pt. ei înșiși, poate folosind regulile de calcul al determinanților), iar printre minorii de ordinul întâi, adică printre elementele matricei, există și altele diferite de zero.

Exemplul 3. Aflați rangul unei matrice

Soluţie. Minorul de ordinul doi al acestei matrice este și toate minorii de ordinul trei ale acestei matrice sunt egale cu zero. Prin urmare, rangul acestei matrice este doi.

Exemplul 4. Aflați rangul unei matrice

Soluţie. Rangul acestei matrice este 3, deoarece singurul minor de ordinul trei al acestei matrice este 3.

Găsirea rangului unei matrice folosind metoda transformărilor elementare (metoda Gauss)

Deja în exemplul 1 este clar că sarcina de a determina rangul unei matrice folosind metoda limitării minorilor necesită calcularea număr mare determinanţi. Există, totuși, o modalitate de a reduce cantitatea de calcul la minimum. Această metodă se bazează pe utilizarea transformărilor matriceale elementare și este numită și metoda Gauss.

Următoarele operații sunt înțelese ca transformări matrice elementare:

1) înmulțirea oricărui rând sau coloană a unei matrice cu un număr diferit de zero;

2) adăugarea la elementele oricărui rând sau coloană a matricei a elementelor corespunzătoare dintr-un alt rând sau coloană, înmulțite cu același număr;

3) schimbarea a două rânduri sau coloane ale matricei;

4) eliminarea rândurilor „nule”, adică a celor ale căror elemente sunt toate egale cu zero;

5) ștergerea tuturor liniilor proporționale cu excepția uneia.

Teorema.În timpul unei transformări elementare, rangul matricei nu se modifică. Cu alte cuvinte, dacă folosim transformări elementare din matrice O a mers la matrice B, Asta .

Anterior pentru o matrice pătrată Ordinul a fost introdus conceptul de minor
element . Să ne amintim că acesta este numele dat determinantului ordinii
, obtinut din determinant
prin tăiere a linia și a coloana.

Să ne prezentăm acum concept general minor. Să luăm în considerare câteva nu neapărat pătrat matrice . Să alegem câteva numere de linie
Şi numerele coloanei
.

Definiţie. Comanda minora matrici (corespunzător rândurilor și coloanelor selectate) se numește determinant de ordine , format din elementele de la intersecția rândurilor și coloanelor selectate, i.e. număr

Fiecare matrice are tot atâtea minore dintr-un ordin dat , în câte moduri puteți selecta numerele de linii
și coloane
.

Definiţie. În matrice dimensiuni
comanda minora numit de bază, dacă este diferit de zero și toți minorii sunt de ordine
egal cu zero sau ordin minor
la matrice deloc.

Este clar că o matrice poate avea mai mulți minori de bază diferite, dar toți minorii de bază au aceeași ordine. Într-adevăr, dacă toți minorii sunt de ordine
sunt egale cu zero, atunci toți minorii ordinului sunt egali cu zero
, și, în consecință, toate ordinele superioare.

Definiţie. Rangul matricei Ordinea minorului de bază se numește, sau, cu alte cuvinte, cea mai mare ordine pentru care există minori, alții decât zero. Dacă toate elementele unei matrice sunt egale cu zero, atunci rangul unei astfel de matrice, prin definiție, este considerat zero.

Rangul matricei vom nota prin simbol
. Din definiția rangului rezultă că pentru matrice dimensiuni
raportul este corect.

Două moduri de a calcula rangul unei matrice

O) Metoda marginală minoră

Să se găsească un minor în matrice
-al-lea, diferit de zero. Să luăm în considerare doar acei minori
-allea ordin, care conțin (margine) un minor
: dacă toate sunt egale cu zero, atunci rangul matricei este . În caz contrar, printre minorii învecinați se numără un minor non-zero
-a ordine și se repetă întreaga procedură.

Exemplul 9 . Aflați rangul unei matrice prin metoda limitării minorilor.

Să alegem un minor de ordinul doi
. Există doar un minor de ordinul al treilea, învecinat cu minorul selectat
. Să-l calculăm.

Deci este minor
de bază, iar rangul matricei este egal cu ordinea acesteia, adică

Este clar că iterarea prin minori în acest fel în căutarea bazei este o sarcină asociată cu calcule mari, dacă dimensiunile matricei nu sunt foarte mici. Există, totuși, o modalitate mai simplă de a găsi rangul unei matrice - folosind transformări elementare.

b) Metoda de transformare elementară

Definiţie. Transformări matrice elementare Următoarele transformări se numesc:

înmulțirea unui șir cu un alt număr decât zero;

adăugarea unei alte linii la o linie;

rearanjarea liniilor;

aceleași transformări de coloane.

Transformările 1 și 2 sunt efectuate element cu element.

Prin combinarea transformărilor primului și celui de-al doilea tip, putem adăuga o combinație liniară a șirurilor rămase la orice șir.

Teorema. Transformările elementare nu schimbă rangul matricei.

(Fără dovadă)

Ideea unei metode practice de calculare a rangului unei matrice

este că cu ajutorul transformărilor elementare această matrice duce la apariție

, (5)

în care elementele „diagonale”.
sunt diferite de zero, iar elementele situate sub cele „diagonale” sunt egale cu zero. Să fim de acord să numim matricea acest tip de triunghiular (altfel, se numește diagonală, trapezoidală sau scară). După reducerea matricei la forma triunghiulară putem scrie imediat că
.

De fapt,
(deoarece transformările elementare nu schimbă rangul). Dar matricea există o comandă minoră diferită de zero :

si orice minor de ordine
conține șirul nul și, prin urmare, este egal cu zero.

Să formulăm acum practic regula de calcul al rangului matrici folosind transformări elementare: pentru a afla rangul matricei ar trebui adusă la o formă triunghiulară folosind transformări elementare . Apoi rangul matricei voinţă egală cu numărul rânduri diferite de zero în matricea rezultată .

Exemplul 10. Aflați rangul unei matrice prin metoda transformărilor elementare

Soluţie.

Să schimbăm prima și a doua linie (deoarece primul element al celei de-a doua linii este −1 și va fi convenabil să efectuați transformări cu acesta). Ca rezultat, obținem o matrice echivalentă cu aceasta.

Să notăm - acel rând al matricei - . Trebuie să reducem matricea originală la formă triunghiulară. Vom considera prima linie ca fiind linia de conducere ea va participa la toate transformările, dar ea însăși rămâne neschimbată.

În prima etapă, vom efectua transformări care ne permit să obținem zerouri în prima coloană, cu excepția primului element. Pentru a face acest lucru, scădeți prima linie din a doua linie, înmulțită cu 2
, adăugați primul la a treia linie
, iar din a treia îl scadem pe primul, înmulțit cu 3
Obținem o matrice al cărei rang coincide cu rangul acestei matrice. Să o notăm cu aceeași literă :

Deoarece trebuie să reducem matricea la forma (5), scădem a doua din al patrulea rând. În acest caz avem:

Se obține o matrice de formă triunghiulară și putem concluziona că
, adică numărul de linii diferite de zero. Pe scurt, soluția problemei poate fi scrisă după cum urmează:

Un număr r se numește rangul matricei A dacă:
1) în matricea A există un minor de ordinul r, diferit de zero;
2) toți minorii de ordin (r+1) și mai mari, dacă există, sunt egali cu zero.
În caz contrar, rangul matricei este ordinul cel mai înalt minor, diferit de zero.
Denumiri: rangA, r A sau r.
Din definiție rezultă că r este un număr întreg pozitiv. Pentru o matrice nulă, rangul este considerat zero.

Scopul serviciului. Calculatorul online este conceput pentru a găsi rangul matricei. În acest caz, soluția este salvată în format Word și Excel. vezi soluția exemplu.

Instrucţiuni. Selectați dimensiunea matricei, faceți clic pe Următorul.

Definiție . Fie dată o matrice de rang r. Orice minor al unei matrice care este diferit de zero și are ordinul r se numește de bază, iar rândurile și coloanele componentelor sale sunt numite rânduri și coloane de bază.
Conform acestei definiții, o matrice A poate avea mai multe minore de bază.

Rangul matricei de identitate E este n (numărul de rânduri).

Exemplul 1. Având în vedere două matrice, și minorii lor , . Care dintre ele poate fi considerată cea de bază?
Soluţie. Minor M 1 =0, deci nu poate fi o bază pentru niciuna dintre matrice. Minor M 2 =-9≠0 și are ordinul 2, ceea ce înseamnă că poate fi luat ca bază a matricelor A sau / și B, cu condiția ca acestea să aibă ranguri egale cu 2. Deoarece detB=0 (ca determinant cu două coloane proporționale), atunci rangB=2 și M 2 pot fi luate ca bază minoră a matricei B. Rangul matricei A este 3, datorită faptului că detA=-27≠ 0 și, prin urmare, ordinea bazei minore a acestei matrice trebuie să fie egală cu 3, adică M 2 nu este o bază pentru matricea A. Rețineți că matricea A are o singură bază minoră, egală cu determinantul matricei A.

Teoremă (despre baza minoră). Orice rând (coloană) al unei matrice este o combinație liniară a rândurilor (coloanelor) de bază.
Corolare din teoremă.

Fiecare matrice (r+1) coloană (rând) de rang r este dependentă liniar.
Dacă rangul unei matrice este mai mic decât numărul rândurilor (coloanelor) sale, atunci rândurile (coloanelor) sale sunt dependente liniar. Dacă rangA este egal cu numărul de rânduri (coloane) sale, atunci rândurile (coloanele) sunt liniar independente.
Determinantul unei matrice A este egal cu zero dacă și numai dacă rândurile (coloanele) ale acesteia sunt dependente liniar.
Dacă adăugați un alt rând (coloană) la un rând (coloană) al unei matrice, înmulțit cu orice număr, altul decât zero, atunci rangul matricei nu se va schimba.
Dacă tăiați un rând (coloană) dintr-o matrice, care este o combinație liniară a altor rânduri (coloane), atunci rangul matricei nu se va schimba.
Rangul unei matrice este egal cu numărul maxim de rânduri (coloane) liniar independente ale acesteia.
Numărul maxim de rânduri liniar independente este același cu numărul maxim de coloane liniar independente.

Exemplul 2. Aflați rangul unei matrice .
Soluţie. Pe baza definiției rangului matricei, vom căuta un minor de ordinul cel mai înalt, diferit de zero. Mai întâi, să transformăm matricea într-o formă mai simplă. Pentru a face acest lucru, înmulțiți primul rând al matricei cu (-2) și adăugați-l la al doilea, apoi înmulțiți-l cu (-1) și adăugați-l la al treilea.

Rânduri (coloane). Se spune că mai multe rânduri (coloane) sunt liniar independente dacă niciunul dintre ele nu poate fi exprimat liniar în termenii celorlalte. Rangul sistemului de rânduri este întotdeauna egal cu rangul sistemului de coloane, iar acest număr se numește rangul matricei.

Rangul unei matrice este cel mai înalt dintre ordinele tuturor minorilor posibili diferit de zero ale acestei matrice. Rangul unei matrice zero de orice dimensiune este zero. Dacă toți minorii de ordinul doi sunt zero, atunci rangul este unul etc.

Rangul matricei - dimensiunea imaginii dim ⁡ (im ⁡ (A)) (\displaystyle \dim(\operatorname (im) (A))) operator liniar căruia îi corespunde matricea.

De obicei, rangul matricei A (\displaystyle A) notat cu sunat ⁡ A (\displaystyle \operatorname (rang) A), r ⁡ A (\displaystyle \operatorname (r) A), rg ⁡ A (\displaystyle \operatorname (rg) A) sau rang ⁡ A (\displaystyle \operatorname (rank) A). Ultima opțiune este tipică pentru Limba engleză, în timp ce primele două sunt pentru germană, franceză și o serie de alte limbi.

YouTube enciclopedic

1 / 5

Fie o matrice dreptunghiulară.

Apoi, prin definiție, rangul matricei A (\displaystyle A) este:

Teorema (despre corectitudinea determinării rangurilor). Lasă toți minorii matricei A m × n (\displaystyle A_(m\times n)) comanda k (\displaystyle k) sunt egale cu zero ( M k = 0 (\displaystyle M_(k)=0)). Apoi ∀ M k + 1 = 0 (\displaystyle \forall M_(k+1)=0), dacă ele există.

Definiții înrudite

Proprietăți

Teorema (despre baza minoră): Lasă r = sunat ⁡ A , M r (\displaystyle r=\operatorname (rang) A,M_(r))- baza minoră a matricei A (\displaystyle A), Atunci:
Consecințe:
Teorema (despre invarianța rangului sub transformări elementare): Să introducem o notație pentru matricele obținute între ele prin transformări elementare. Atunci următoarea afirmație este adevărată: Dacă A ∼ B (\displaystyle A\sim B), atunci rangurile lor sunt egale.
Teorema Kronecker-Capelli: Sistem liniar ecuații algebrice este consecvent dacă și numai dacă rangul matricei sale principale este egal cu rangul matricei sale extinse. În special:
- Numărul de variabile principale ale sistemului este egal cu rangul sistemului.
- Un sistem consistent va fi definit (soluția sa este unică) dacă rangul sistemului este egal cu numărul tuturor variabilelor sale.
Inegalitatea lui Sylvester: Dacă OŞi B matrici de dimensiuni m x nŞi n x k, Asta

a sonat ⁡ A B ≥ a sonat ⁡ A + a sonat ⁡ B - n (\displaystyle \operatorname (rang) AB\geq \operatorname (rang) A+\operatorname (rang) B-n)

Acest caz special următoarea inegalitate.

Inegalitatea lui Frobenius: Dacă AB, BC, ABC sunt definite corect, atunci

a sonat ⁡ A B C ≥ a sonat ⁡ A B + a sonat ⁡ B C − a sonat ⁡ B (\displaystyle \operatorname (rang) ABC\geq \operatorname (rang) AB+\operatorname (rang) BC-\operatorname (rang) B)

Transformarea liniară și rangul matricei

Lasă A (\displaystyle A)- matricea dimensiunilor m × n (\displaystyle m\times n) peste câmp C (\displaystyle C)(sau R (\displaystyle R)). Lasă T (\displaystyle T)- transformarea liniară corespunzătoare A (\displaystyle A) pe o bază standard; asta înseamnă că T (x) = A x (\displaystyle T(x)=Ax). Rangul matricei A (\displaystyle A) este dimensiunea intervalului de transformare T (\displaystyle T).

Metode

Există mai multe metode pentru a găsi rangul unei matrice:

Metoda de transformare elementară

Rangul unei matrice este egal cu numărul de rânduri diferite de zero din matrice după reducerea acesteia la formă eșalonată folosind transformări elementare peste rândurile matricei.

Metoda marginală minoră

Lasă în matrice A (\displaystyle A) minor diferit de zero găsit k (\displaystyle k)-a comanda M (\displaystyle M). Să luăm în considerare toți minorii (k + 1) (\displaystyle (k+1))-al-lea ordin, inclusiv (de margini) minor M (\displaystyle M); dacă toate sunt egale cu zero, atunci rangul matricei este egal cu k (\displaystyle k). În caz contrar, printre minorii învecinați există unul diferit de zero, iar toată procedura se repetă.

Pentru a lucra cu conceptul de rang matrice, vom avea nevoie de informații din subiectul „Adunări algebrice și minore. Tipuri de minore și adunări algebrice”. În primul rând, acesta se referă la termenul „matrice minoră”, întrucât vom determina rangul matricei tocmai prin intermediul minorilor.

Rangul matricei este ordinea maximă a minorilor săi, printre care există cel puțin unul care nu este egal cu zero.

Matrici echivalente- matrice ale căror ranguri sunt egale între ele.

Să explicăm mai detaliat. Să presupunem că printre minorii de ordinul doi există cel puțin unul diferit de zero. Și toți minorii a căror ordine este mai mare de doi sunt egali cu zero. Concluzie: rangul matricei este 2 Sau, de exemplu, printre minorii de ordinul al zecelea există cel puțin unul care nu este egal cu zero. Și toți minorii a căror ordine este mai mare de 10 sunt egali cu zero. Concluzie: rangul matricei este 10.

Rangul matricei $A$ se notează astfel: $\rang A$ sau $r(A)$. Se presupune că rangul matricei zero $O$ este zero, $\rang O=0$. Permiteți-mi să vă reamintesc că pentru a forma o matrice minoră trebuie să tăiați rândurile și coloanele, dar este imposibil să tăiați mai multe rânduri și coloane decât conține matricea în sine. De exemplu, dacă matricea $F$ are dimensiunea $5\x 4$ (adică conține 5 rânduri și 4 coloane), atunci ordinea maximă a minorelor sale este de patru. Nu se va mai putea forma minori de ordinul al cincilea, deoarece vor necesita 5 coloane (și avem doar 4). Aceasta înseamnă că rangul matricei $F$ nu poate fi mai mare de patru, adică. $\suna F≤4$.

Într-o formă mai generală, cele de mai sus înseamnă că, dacă o matrice conține $m$ rânduri și $n$ coloane, atunci rangul său nu poate depăși cel mai mic dintre $m$ și $n$, adică. $\rang A≤\min(m,n)$.

În principiu, din însăși definiția rangului urmează metoda de găsire a acestuia. Procesul de găsire a rangului unei matrice, prin definiție, poate fi reprezentat schematic după cum urmează:

Permiteți-mi să explic această diagramă mai detaliat. Să începem să raționăm de la bun început, adică. de la primul ordin minori ai unei matrice $A$.

Dacă toți minorii de ordinul întâi (adică, elementele matricei $A$) sunt egale cu zero, atunci $\rang A=0$. Dacă printre minorii de ordinul întâi există cel puțin unul care nu este egal cu zero, atunci $\rang A≥ 1$. Să trecem la verificarea minorilor de ordinul doi.
Dacă toți minorii de ordinul doi sunt egali cu zero, atunci $\rang A=1$. Dacă printre minorii de ordinul doi există cel puțin unul care nu este egal cu zero, atunci $\rang A≥ 2$. Să trecem la verificarea minorilor de ordinul trei.
Dacă toți minorii de ordinul trei sunt egali cu zero, atunci $\rang A=2$. Dacă printre minorii de ordinul trei există cel puțin unul care nu este egal cu zero, atunci $\rang A≥ 3$. Să trecem la verificarea minorilor de ordinul al patrulea.
Dacă toți minorii de ordinul al patrulea sunt egali cu zero, atunci $\rang A=3$. Dacă printre minorii de ordinul al patrulea există cel puțin unul care nu este egal cu zero, atunci $\rang A≥ 4$. Trecem la verificarea minorilor de ordinul al cincilea și așa mai departe.

Ce ne așteaptă la finalul acestei proceduri? Este posibil ca printre minorii de ordinul k să existe cel puțin unul diferit de zero, iar toți minorii de ordinul (k+1) să fie egali cu zero. Aceasta înseamnă că k este ordinea maximă a minorilor, printre care există cel puțin unul care nu este egal cu zero, adică. rangul va fi egal cu k. Poate fi o situație diferită: între minorii de ordinul k va fi cel puțin unul care nu este egal cu zero, dar nu se va mai putea forma (k+1) minori de ordin. În acest caz, rangul matricei este, de asemenea, egal cu k. În scurt, ordinea ultimului minor nenulu compus va fi egal cu rangul matricei.

Să trecem la exemple în care procesul de găsire a rangului unei matrice, prin definiție, va fi ilustrat clar. Permiteți-mi să subliniez încă o dată că în exemplele acestui subiect vom găsi rangul matricelor folosind doar definiția rangului. Alte metode (calcularea rangului unei matrice folosind metoda minorilor învecinați, calcularea rangului unei matrice folosind metoda transformărilor elementare) sunt discutate în următoarele subiecte.

Apropo, nu este deloc necesară începerea procedurii de găsire a gradului cu minorii de ordinul cel mai mic, așa cum s-a făcut în exemplele nr. 1 și nr. 2. Puteți trece imediat la minori de ordine superioară (vezi exemplul nr. 3).

Exemplul nr. 1

Găsiți rangul matricei $A=\left(\begin(array)(ccccc) 5 & 0 & -3 & 0 & 2 \\ 7 & 0 & -4 & 0 & 3 \\ 2 & 0 & -1 & 0 & 1 \end(matrice) \right)$.

Această matrice are dimensiunea $3\xtime 5$, adică conține trei rânduri și cinci coloane. Dintre numerele 3 și 5, minimul este 3, prin urmare rangul matricei $A$ nu este mai mare de 3, adică. $\rang A≤ 3$. Și această inegalitate este evidentă, deoarece nu vom mai putea forma minori de ordinul al patrulea - au nevoie de 4 rânduri și avem doar 3. Să trecem direct la procesul de găsire a rangului unei matrice date.

Printre minorii de ordinul întâi (adică printre elementele matricei $A$) există și altele diferite de zero. De exemplu, 5, -3, 2, 7. În general, nu ne interesează numărul total de elemente diferite de zero. Există cel puțin un element diferit de zero - și este suficient. Deoarece printre minorii de ordinul întâi există cel puțin unul diferit de zero, concluzionăm că $\rang A≥ 1$ și trecem la verificarea minorilor de ordinul doi.

Să începem să explorăm minorii de ordinul doi. De exemplu, la intersecția rândurilor nr. 1, nr. 2 și coloanelor nr. 1, nr. 4 există elemente de următorul minor: $\left|\begin(array)(cc) 5 & 0 \\ 7 & 0 \end(matrice) \right|. Pentru acest determinant, toate elementele celei de-a doua coloane sunt egale cu zero, prin urmare determinantul în sine este egal cu zero, i.e. $\left|\begin(array)(cc) 5 & 0 \\ 7 & 0 \end(array) \right|=0$ (vezi proprietatea nr. 3 la tema proprietăților determinanților). Sau puteți calcula pur și simplu acest determinant folosind formula nr. 1 din secțiunea privind calcularea determinanților de ordinul doi și trei:

$$ \left|\begin(array)(cc) 5 & 0 \\ 7 & 0 \end(array) \right|=5\cdot 0-0\cdot 7=0. $$

Primul minor de ordinul doi pe care l-am testat sa dovedit a fi egal cu zero. Ce înseamnă acest lucru? Despre necesitatea verificării în continuare a minorilor de ordinul doi. Fie se vor dovedi a fi toate zero (și atunci rangul va fi egal cu 1), fie printre ei va exista cel puțin un minor care este diferit de zero. Să încercăm să facem o alegere mai bună scriind un minor de ordinul doi, ale cărui elemente sunt situate la intersecția rândurilor nr. 1, nr. 2 și coloanelor nr. 1 și nr. 5: $\left|\begin( matrice)(cc) 5 și 2 \\ 7 și 3 \end(matrice) \right|$. Să găsim valoarea acestui minor de ordinul doi:

$$ \left|\begin(array)(cc) 5 & 2 \\ 7 & 3 \end(array) \right|=5\cdot 3-2\cdot 7=1. $$

Acest minor nu este egal cu zero. Concluzie: printre minorii de ordinul doi există cel puțin unul diferit de zero. Prin urmare $\rang A≥ 2$. Trebuie să trecem la studiul minorilor de ordinul trei.

Dacă alegem coloana nr. 2 sau coloana nr. 4 pentru a forma minori de ordinul trei, atunci astfel de minori vor fi egali cu zero (deoarece vor conține o coloană zero). Rămâne de verificat doar un minor de ordinul trei, ale cărui elemente sunt situate la intersecția coloanelor nr. 1, nr. 3, nr. 5 și rândurile nr. 1, nr. 2, nr. 3. Să notăm acest minor și să îi găsim valoarea:

$$ \left|\begin(array)(ccc) 5 & -3 & 2 \\ 7 & -4 & 3 \\ 2 & -1 & 1 \end(array) \right|=-20-18-14 +16+21+15=0. $$

Deci, toți minorii de ordinul trei sunt egali cu zero. Ultimul minor diferit de zero pe care l-am compilat a fost de ordinul doi. Concluzie: ordinea maximă a minorilor, printre care există cel puțin unul diferit de zero, este 2. Prin urmare, $\rang A=2$.

Răspuns: $\rang A=2$.

Exemplul nr. 2

Găsiți rangul matricei $A=\left(\begin(array) (cccc) -1 & 3 & 2 & -3\\ 4 & -2 & 5 & 1\\ -5 & 0 & -4 & 0 \\ 9 & 7 & 8 & -7 \end(array) \right)$.

Avem o matrice pătrată de ordinul al patrulea. Să observăm imediat că rangul acestei matrice nu depășește 4, adică. $\rang A≤ 4$. Să începem să găsim rangul matricei.

Printre minorii de ordinul întâi (adică dintre elementele matricei $A$) există cel puțin unul care nu este egal cu zero, deci $\rang A≥ 1$. Să trecem la verificarea minorilor de ordinul doi. De exemplu, la intersecția rândurilor nr. 2, nr. 3 și coloanele nr. 1 și nr. 2, obținem următorul minor de ordinul doi: $\left| \begin(array) (cc) 4 & -2 \\ -5 & 0 \end(array) \right|$. Să o calculăm:

$$\stânga| \begin(array) (cc) 4 & -2 \\ -5 & 0 \end(array) \right|=0-10=-10. $$

Printre minorii de ordinul doi există cel puțin unul care nu este egal cu zero, deci $\rang A≥ 2$.

Să trecem la minorii de ordinul trei. Să găsim, de exemplu, un minor ale cărui elemente sunt situate la intersecția rândurilor nr. 1, nr. 3, nr. 4 și coloanele nr. 1, nr. 2, nr. 4:

$$\stânga | \begin(array) (cccc) -1 & 3 & -3\\ -5 & 0 & 0\\ 9 & 7 & -7 \end(array) \right|=105-105=0. $$

Deoarece acest minor de ordinul trei s-a dovedit a fi egal cu zero, este necesar să se investigheze un alt minor de ordinul trei. Fie toate vor fi egale cu zero (atunci rangul va fi egal cu 2), fie printre ei va fi cel puțin unul care nu este egal cu zero (atunci vom începe să studiem minorii de ordinul al patrulea). Să luăm în considerare un minor de ordinul al treilea, ale cărui elemente sunt situate la intersecția rândurilor nr. 2, nr. 3, nr. 4 și coloanele nr. 2, nr. 3, nr. 4:

$$\stânga| \begin(array) (ccc) -2 & 5 & 1\\ 0 & -4 & 0\\ 7 & 8 & -7 \end(array) \right|=-28. $$

Printre minorii de ordinul trei există cel puțin unul diferit de zero, deci $\rang A≥ 3$. Să trecem la verificarea minorilor de ordinul al patrulea.

Orice minor de ordinul al patrulea este situat la intersecția a patru rânduri și patru coloane ale matricei $A$. Cu alte cuvinte, minorul de ordinul al patrulea este determinantul matricei $A$, deoarece această matrice conține 4 rânduri și 4 coloane. Determinantul acestei matrice a fost calculat în exemplul nr. 2 al subiectului „Reducerea ordinii determinantului pe rând (coloană)”, deci să luăm doar rezultatul final:

$$\stânga| \begin(array) (cccc) -1 & 3 & 2 & -3\\ 4 & -2 & 5 & 1\\ -5 & 0 & -4 & 0\\ 9 & 7 & 8 & -7 \end (matrice)\right|=86. $$

Deci minorul de ordinul al patrulea nu este egal cu zero. Nu mai putem forma minori de ordinul al cincilea. Concluzie: cel mai mare ordin al minorilor, printre care există cel puțin unul diferit de zero, este 4. Rezultat: $\rang A=4$.

Răspuns: $\rang A=4$.

Exemplul nr. 3

Găsiți rangul matricei $A=\left(\begin(array) (cccc) -1 & 0 & 2 & -3\\ 4 & -2 & 5 & 1\\ 7 & -4 & 0 & -5 \end( matrice) \right)$.

Să observăm imediat că această matrice conține 3 rânduri și 4 coloane, deci $\rang A≤ 3$. În exemplele anterioare, am început procesul de găsire a rangului luând în considerare minorii de ordinul cel mai mic (primul). Aici vom încerca să verificăm imediat minorii de cea mai mare ordine posibilă. Pentru matricea $A$ acestea sunt minorii de ordinul trei. Să luăm în considerare un minor de ordinul al treilea, ale cărui elemente se află la intersecția rândurilor nr. 1, nr. 2, nr. 3 și coloanele nr. 2, nr. 3, nr. 4:

$$\stânga| \begin(array) (ccc) 0 & 2 & -3\\ -2 & 5 & 1\\ -4 & 0 & -5 \end(array) \right|=-8-60-20=-88. $$

Deci, cel mai înalt ordin al minorilor, printre care există cel puțin unul care nu este egal cu zero, este 3. Prin urmare, rangul matricei este 3, adică. $\rang A=3$.

Răspuns: $\rang A=3$.

În general, găsirea rangului unei matrice prin definiție este, în cazul general, o sarcină destul de intensivă în muncă. De exemplu, o matrice relativ mică de dimensiunea $5\xtime 4$ are 60 de minori de ordinul doi. Și chiar dacă 59 dintre ele sunt egale cu zero, atunci al 60-lea minor se poate dovedi a fi diferit de zero. Apoi va trebui să studiezi minorii de ordinul trei, dintre care această matrice are 40 de piese. De obicei ei încearcă să folosească metode mai puțin greoaie, cum ar fi metoda limitării minorilor sau metoda transformărilor echivalente.