Из всех случайных величин проще всего разыгрывать (моделировать) равномерно распределенную величину . Рассмотрим, как это делается.
Возьмем какое-то устройство, на выходе которого с вероятностью могут появляться цифры 0 или 1; появление той или другой цифры должно быть случайным. Таким устройством может быть бросаемая монета, игральная кость (четно - 0, нечетно - 1) или специальный генератор, основанный на подсчете числа радиоактивных распадов или всплесков радиошума за определенное время (четно или нечетно).
Запишем у как двоичную дробь и на место последовательных разрядов будем ставить цифры, выдаваемые генератором: например, . Поскольку в первом разряде с равной вероятностью могут стоять 0 или 1, это число с равной вероятностью лежит в левой или правой половине отрезка . Поскольку во втором разряде тоже 0 и 1 равновероятны, число с равной вероятностью лежит в каждой половине этих половин и т. д. Значит, двоичная дробь со случайными цифрами действительно с равной вероятностью принимает любое значение на отрезке
Строго говоря, разыграть можно только конечное количество разрядов k. Поэтому распределение будет не вполне требуемым; математическое ожидание окажется меньше 1/2 на величину (ибо значение возможно, а значение невозможно). Чтобы этот фактор не сказывался, следует брать многоразрядные числа; правда, в методе статистических испытаний точность ответа обычно не бывает выше 0,1% -103, а условие дает что на современных ЭВМ перевыполнено с большим запасом.
Псевдослучайные числа. Реальные генераторы случайных чисел не свободны от систематических ошибок: несимметричность монеты, дрейф нуля и т. д. Поэтому качество выдаваемых ими чисел проверяют специальными тестами. Простейший тест - вычисление для каждого разряда частоты появления нуля; если частота заметно отлична от 1/2, то имеется систематическая ошибка, а если она слишком близка к 1/2, то числа не случайные - есть какая-то закономерность. Более сложные тесты - это вычисление коэффициентов корреляции последовательных чисел
или групп разрядов внутри числа; эти коэффициенты должны быть близкими к нулю.
Если какая-то последовательность чисел удовлетворяет этим тестам, то ее можно использовать в расчетах по методу статистических испытаний, не интересуясь ее происхождением.
Разработаны алгоритмы построения таких последовательностей; символически их записывают рекуррентными формулами
Такие числа называют псевдослучайными и вычисляют на ЭВМ. Это обычно удобнее, чем использование специальных генераторов. Но для каждого алгоритма есть свое предельное число членов последовательности, которое можно использовать в расчетах; при большем числе членов теряется случайный характер чисел, например - обнаруживается периодичность.
Первый алгоритм получения псевдослучайных чисел был предложен Нейманом. Возьмем число из цифр (для определенности десятичных) и возведем его в квадрат. У квадрата оставим средних цифр, откинув последних и (или ) первых. Полученное число снова возведем в квадрат и т. д. Значения получаются умножением этих чисел на Например, положим и выберем начальное число 46; тогда получим
Но распределение чисел Неймана недостаточно равномерно (преобладают значения что хорошо видно на приведенном примере), и сейчас их редко употребляют.
Наиболее употребителен сейчас несложный и неплохой алгоритм, связанный с выделением дробной части произведения
где А - очень большая константа (фигурная скобка обозначает дробную часть числа). Качество псевдослучайных чисел сильно зависит от выбора величины А: это число в двоичной записи должно иметь достаточно «случайный» хотя его последний разряд следует брать единицей. Величина слабо влияет на качество последовательности, но было отмечено, что некоторые значения оказываются неудачными.
При помощи экспериментов и теоретического анализа исследованы и рекомендуются такие значения: для БЭСМ-4; для БЭСМ-6. Для некоторых американских ЭВМ рекомендуются и эти цифры связаны с количеством разрядов в мантиссе и порядке числа, поэтому для каждого типа ЭВМ они свои.
Замечание 1. В принципе формулы типа (54) могут давать очень длинные хорошие последовательности, если записывать их в нерекуррентном виде и все умножения выполнять без округления. Обычное округление на ЭВМ ухудшает качество псевдослучайных чисел, но тем не менее до членов последовательности обычно годятся.
Замечание 2. Качество последовательности улучшается, если ввести в алгоритм (54) небольшие случайные возмущения; например, после нормализации числа полезно засылать в последние двоичные разряды его мантиссы двоичный порядок числа
Строго говоря, закономерность псевдослучайных чисел должна быть незаметна по отношению к требуемому частному применению. Поэтому в несложных или удачно сформулированных задачах можно использовать последовательности не очень хорошего качества, но при этом необходимы специальные проверки.
Произвольное распределение. Для разыгрывания случайной величины с неравномерным распределением можно воспользоваться формулой (52). Разыграем у и определим из равенства
Если интеграл берется в конечном виде и формула несложна, то это наиболее удобный способ. Для некоторых важных распределений - Гаусса, Пуассона - соответствующие интегралы не берутся и разработаны специальные способы разыгрывания.
Метод обратных функций
Пусть требуется разыграть непрерывную случайную величину X , т. е. получить последовательность ее возможных значений x i (i = 1,2, ...), зная функцию распределения F (х ).
Теорема. Если r i ,-случайное число, то возможное значение x i разыгрываемой непрерывной случайной величины Х с заданной функцией распределения F (х ), соответствующее r i , является корнем уравнения
F (х i )= r i . (»)
Доказательство. Пусть выбрано случайное число r i (0≤r i <1). Так как в интервале всех возможных значений Х функция распределения F (х ) монотонно возрастает от 0 до 1, то в этом интервале существует, причем только одно, такое значение аргумента х i , при котором функция распределения примет значение r i . Другими словами, уравнение (*) имеет единственное решение
х i = F - 1 (r i ),
где F - 1 - функция, обратная функции у= F (х ).
Докажем теперь, что корень х i уравнения (*) есть возможное значение такой непрерывной случайной величины (временно обозначим ее через ξ , а потом убедимся, что ξ=Х ). С этой целью докажем, что вероятность попадания ξ в интервал, например (с, d ), принадлежащий интервалу всех возможных значений X , равна приращению функции распределения F (х ) на этом интервале:
Р (с< ξ < d )= F (d )- F (с ).
Действительно, так как F (х )- монотонно возрастающая функция в интервале всех возможных значений X, то в этом интервале большим значениям аргумента соответствуют большие значения функции, и обратно. Поэтому, если с <х i < d , то F (c )< r i < F (d ), и обратно [учтено, что в силу (*) F (х i )=r i ].
Из этих неравенств следует, чтоесли случайная величина ξ заключена в интервале
с< ξ < d , ξ (**)
то случайная величина R заключена в интервале
F (с )< R < F (d ), (***)
и обратно. Таким образом, неравенства(**) и (***) равносильны, а, значит, и равновероятны:
Р (с < ξ< d )=Р [F (с )< R < F (d )]. (****)
Так как величина R распределена равномерно в интервале (0,1), то вероятность попадания R в некоторый интервал, принадлежащий интервалу (0,1), равна его длине (см. гл. XI, § 6, замечание). В частности,
Р [F (с )< R < F (d ) ] = F (d ) - F (с ).
Следовательно, соотношение (****) можно записать в виде
Р (с < ξ< d )= F (d ) - F (с ).
Итак, вероятность попадания ξ в интервал (с, d ) равна приращению функции распределения F (х ) на этом интервале, а это означает, что ξ=Х. Другими словами, числа х i , определяемые формулой (*), есть возможные значения величины Х с заданной функцией распределения F (х ), что и требовалось доказать.
Правило 1. х i , непрерывной случайной величины X, зная ее функцию распределения F (х ), надо выбрать случайное число r i приравнять его функции распределения и решить относительно х i , полученное уравнение
F (х i )= r i .
Замечание 1. Если решить это уравнение в явном видене удается, то прибегают к графическим или численным методам.
Пример I. Разыграть 3 возможных значения непрерывной случайной величины X, распределенной равномерно в интервале (2, 10).
Решение. Напишем функцию распределения величины X, распределенной равномерно в интервале (а, b ) (см. гл. XI, § 3, пример):
F (х )= (х-а )/ (b -а ).
По условию, а = 2, b =10, следовательно,
F (х )= (х- 2)/ 8.
Используя правило настоящего параграфа, напишем уравнение для отыскания возможных значений х i , для чего приравняем функцию распределения случайному числу:
(х i -2 )/8= r i .
Отсюда х i =8 r i + 2.
Выберем 3 случайных числа, например, r i =0,11, r i =0,17, r i =0,66. Подставим эти числа в уравнение, разрешенное относительно х i , в итоге получим соответствующие возможные значенияX : х 1 =8·0,11+2==2,88; х 2 =1.36; х 3 = 7,28.
Пример 2. Непрерывная случайная величина Х распределенапопоказательному закону, заданному функцией распределения (параметр λ > 0 известен)
F (х )= 1 - е - λ х (х>0 ).
Требуется найти явную формулу для разыгрывания возможных значений X.
Решение. Используя правило настоящего параграфа, напишем уравнение
1 - е - λ х i
Решим это уравнение относительно х i :
е - λ х i = 1 - r i , или - λ х i = ln (1 - r i ).
х i =1п (1– r i )/λ.
Случайное число r i заключено в интервале (0,1); следовательно, число 1 - r i , также случайное и принадлежит интервалу (0,1). Другими словами, величины R и 1 - R распределены одинаково. Поэтому для отыскания х i можно воспользоваться более простой формулой:
x i =- ln r i /λ.
Замечание 2. Известно, что (см. гл. XI, §3)
В частности,
Отсюда следует, что если известна плотность вероятности f (x ), то для разыгрывания Х можно вместоуравнений F (x i )=r i решить относительно x i уравнение
Правило 2. Для того чтобы найти возможное значение х i (непрерывной случайной величины X, зная ее плотность вероятности f (x ) надо выбрать случайное число r i и решить относительно х i , уравнение
или уравнение
где а- наименьшее конечное возможное значение X.
Пример 3. Задана плотность вероятности непрерывной случайной величины Х f (х )=λ (1-λх /2) в интервале (0; 2/λ); вне этого интервала f (х )= 0. Требуется найти явную формулу для разыгрывания возможных значений X.
Решение. Напишем в соответствии с правилом 2 уравнение
Выполнив интегрирование и решив полученное квадратное уравнение относительно х i , окончательно получим
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА ММ- 03
РАЗЫГРЫВАНИЕ ДИСКРЕТНЫХ И НЕПРЕРЫВНЫХ СВ
Цель работы: изучение и программная реализация методов разыгрывания дискретных и непрерывных СВ
ВОПРОСЫ ДЛЯ ИЗУЧЕНИЯ ПО КОНСПЕКТУ ЛЕКЦИЙ:
1. Дискретные случайные величины и их характеристики.
2. Разыгрывание полной группы случайных событий.
3. Разыгрывание непрерывной случайной величины методом обратной функции.
4. Выбор случайного направления в пространстве.
5. Стандартное нормальное распределение и его пересчет для заданных параметров.
6. Метод полярных координат для разыгрывания нормального распределения.
ЗАДАЧА 1. Сформулировать (письменно) правило разыгрывания значений дискретной СВ, закон распределения которой задан в виде таблицы. Составить подпрограмму-функцию для разыгрывания значений СВ с использованием БСВ, получаемых от подпрограммы ГСЧ. Разыграть 50 значений СВ и вывести их на экран.
Где N – номер варианта.
ЗАДАЧА 2. Дана функция плотности распределения f(x) непрерывной случайной величины X.
В отчете записать формулы и вычисление следующих величин:
А) константу нормировки;
Б) функцию распределения F(x);
В) математическое ожидание M(X);
Г) дисперсию D(X);
Д) формулу для разыгрывания значений СВ по методу обратной функции.
Составить подпрограмму-функцию для разыгрывания заданной СВ и получить 1000 значений этой СВ.
Построить гистограмму распределения полученных чисел по 20 отрезкам.
ЗАДАЧА 3. Составить процедуру, позволяющую разыграть параметры случайного направления в пространстве. Разыграть 100 случайных направлений в пространстве.
Использовать встроенный датчик псевдослучайных чисел.
Письменный отчет по лабораторной работе должен содержать:
1) Название и цель работы, группу, фамилию и номер варианта студента;
2) По каждой задаче: -условие, -необходимые формулы и математические преобразования, -имя программного файла, реализующего используемый алгоритм, -результаты вычислений.
Отлаженные программные файлы сдаются вместе с письменным отчетом.
ПРИЛОЖЕНИЕ
Варианты плотности распределения непрерывной СВ
Вар-т |
Плотность распределения СВ |
Вар-т |
Плотность распределения СВ |
Пусть требуется разыграть непрерывную случайную величину X, т.е. получить последовательность ее возможных значений (i=1, 2, ..., n), зная функцию распределения F(x).
Теорема. Если - случайное число, то возможное значение разыгрываемой непрерывной случайной величины X с заданной функцией распределения F (х), соответствующее , является корнем уравнения .
Правило 1. Для того чтобы найти возможное значение , непрерывной случайной величины X, зная ее функцию распределения F (х), надо выбрать случайное число , приравнять его функции распределения и решить относительно полученное уравнение .
Замечание 1. Если решить это уравнение в явном виде не удается, то прибегают к графическим или численным методам.
Пример 1. Разыграть 3 возможных значения непрерывной случайной величины X, распределенной равномерно в интервале (2, 10).
Решение: Напишем функцию распределения величины X, распределенной равномерно в интервале (а, b): .
По условию, а=2, b=10, следовательно, .
Используя правило 1, напишем уравнение для отыскания возможных значений , для чего приравняем функцию распределения случайному числу:
Отсюда .
Выберем 3 случайных числа, например, , , . Подставим эти числа в уравнение, разрешенное относительно ; в итоге получим соответствующие возможные значения X: ; ; .
Пример 2. Непрерывная случайная величина X распределена по показательному закону, заданному функцией распределения (параметр известен) (х >0). Требуется найти явную формулу для разыгрывания возможных значений X.
Решение: Используя правило, напишем уравнение .
Решим это уравнение относительно : , или .
Случайное число заключено в интервале (0, 1); следовательно, число - также случайное и принадлежит интервалу (0,1). Другими словами, величины R и 1-R распределены одинаково. Поэтому для отыскания можно воспользоваться более простой формулой .
Замечание 2. Известно, что .
В частности, .
Отсюда следует, что если известна плотность вероятности , то для разыгрывания X можно вместо уравнений решить относительно уравнение .
Правило 2. Для того чтобы найти возможное значение непрерывной случайной величины X, зная ее плотность вероятности , надо выбрать случайное число и решить относительно уравнение или уравнение , где а - наименьшее конечное возможное значение X.
Пример 3. Задана плотность вероятности непрерывной случайной величины X в интервале ; вне этого интервала . Требуется найти явную формулу для разыгрывания возможных значений X.
Решение: Напишем в соответствии с правилом 2 уравнение .
Выполнив интегрирование и решив полученное квадратное уравнение относительно , окончательно получим .
18.7 Приближённое разыгрывание нормальной случайной величины
Напомним предварительно, что если случайная величина R распределена равномерно в интервале (0, 1), то ее математическое ожидание и дисперсия соответственно равны: М(R)=1/2, D(R)=1/12.
Составим сумму n независимых, распределенных равномерно в интервале (0, 1) случайных величин : .
Для нормирования этой суммы найдем предварительно ее математическое ожидание и дисперсию.
Известно, что математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых. Сумма содержит n слагаемых, математическое ожидание каждого из которых в силу М(R)=1/2 равно 1/2; следовательно, математическое ожидание суммы
Известно, что дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме дисперсий слагаемых. Сумма содержит n независимых слагаемых, дисперсия каждого из которых в силу D(R)=1/12 равна 1/12; следовательно, дисперсия суммы
Отсюда среднее квадратическое отклонение суммы
Пронормируем рассматриваемую сумму, для чего вычтем математическое ожидание и разделим результат на среднее квадратическое отклонение: .
В силу центральной предельной теоремы при распределение этой нормированной случайной величины стремится к нормальному с параметрами а=0 и . При конечном n распределение приближенно нормальное. В частности, при n=12 получим достаточно хорошее и удобное для расчета приближение .
Оценки удовлетворительные: близко к нулю, мало отличается от единицы.
Список использованных источников
1. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.:Высшая школа, 2001.
2. Калинина В.Н., Панкин В.Ф. Математическая статистика. – М.: Высшая школа, 2001.
3. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. – М.: Высшая школа, 2001.
4. Кочетков Е.С., Смерчинская С.О., Соколов В.В. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.:ФОРУМ:ИНФРА-М, 2003.
5. Агапов Г.И. Задачник по теории вероятностей. – М.: Высшая школа, 1994.
6. Колемаев В.А., Калинина В.Н. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: ИНФРА-М, 2001.
7. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. – М.: Высшая школа, 2001.