Метод обратных функций
Пусть требуется разыграть непрерывную случайную величину X , т. е. получить последовательность ее возможных значений x i (i = 1,2, ...), зная функцию распределения F (х ).
Теорема. Если r i ,-случайное число, то возможное значение x i разыгрываемой непрерывной случайной величины Х с заданной функцией распределения F (х ), соответствующее r i , является корнем уравнения
F (х i )= r i . (»)
Доказательство. Пусть выбрано случайное число r i (0≤r i <1). Так как в интервале всех возможных значений Х функция распределения F (х ) монотонно возрастает от 0 до 1, то в этом интервале существует, причем только одно, такое значение аргумента х i , при котором функция распределения примет значение r i . Другими словами, уравнение (*) имеет единственное решение
х i = F - 1 (r i ),
где F - 1 - функция, обратная функции у= F (х ).
Докажем теперь, что корень х i уравнения (*) есть возможное значение такой непрерывной случайной величины (временно обозначим ее через ξ , а потом убедимся, что ξ=Х ). С этой целью докажем, что вероятность попадания ξ в интервал, например (с, d ), принадлежащий интервалу всех возможных значений X , равна приращению функции распределения F (х ) на этом интервале:
Р (с< ξ < d )= F (d )- F (с ).
Действительно, так как F (х )- монотонно возрастающая функция в интервале всех возможных значений X, то в этом интервале большим значениям аргумента соответствуют большие значения функции, и обратно. Поэтому, если с <х i < d , то F (c )< r i < F (d ), и обратно [учтено, что в силу (*) F (х i )=r i ].
Из этих неравенств следует, чтоесли случайная величина ξ заключена в интервале
с< ξ < d , ξ (**)
то случайная величина R заключена в интервале
F (с )< R < F (d ), (***)
и обратно. Таким образом, неравенства(**) и (***) равносильны, а, значит, и равновероятны:
Р (с < ξ< d )=Р [F (с )< R < F (d )]. (****)
Так как величина R распределена равномерно в интервале (0,1), то вероятность попадания R в некоторый интервал, принадлежащий интервалу (0,1), равна его длине (см. гл. XI, § 6, замечание). В частности,
Р [F (с )< R < F (d ) ] = F (d ) - F (с ).
Следовательно, соотношение (****) можно записать в виде
Р (с < ξ< d )= F (d ) - F (с ).
Итак, вероятность попадания ξ в интервал (с, d ) равна приращению функции распределения F (х ) на этом интервале, а это означает, что ξ=Х. Другими словами, числа х i , определяемые формулой (*), есть возможные значения величины Х с заданной функцией распределения F (х ), что и требовалось доказать.
Правило 1. х i , непрерывной случайной величины X, зная ее функцию распределения F (х ), надо выбрать случайное число r i приравнять его функции распределения и решить относительно х i , полученное уравнение
F (х i )= r i .
Замечание 1. Если решить это уравнение в явном видене удается, то прибегают к графическим или численным методам.
Пример I. Разыграть 3 возможных значения непрерывной случайной величины X, распределенной равномерно в интервале (2, 10).
Решение. Напишем функцию распределения величины X, распределенной равномерно в интервале (а, b ) (см. гл. XI, § 3, пример):
F (х )= (х-а )/ (b -а ).
По условию, а = 2, b =10, следовательно,
F (х )= (х- 2)/ 8.
Используя правило настоящего параграфа, напишем уравнение для отыскания возможных значений х i , для чего приравняем функцию распределения случайному числу:
(х i -2 )/8= r i .
Отсюда х i =8 r i + 2.
Выберем 3 случайных числа, например, r i =0,11, r i =0,17, r i =0,66. Подставим эти числа в уравнение, разрешенное относительно х i , в итоге получим соответствующие возможные значенияX : х 1 =8·0,11+2==2,88; х 2 =1.36; х 3 = 7,28.
Пример 2. Непрерывная случайная величина Х распределенапопоказательному закону, заданному функцией распределения (параметр λ > 0 известен)
F (х )= 1 - е - λ х (х>0 ).
Требуется найти явную формулу для разыгрывания возможных значений X.
Решение. Используя правило настоящего параграфа, напишем уравнение
1 - е - λ х i
Решим это уравнение относительно х i :
е - λ х i = 1 - r i , или - λ х i = ln (1 - r i ).
х i =1п (1– r i )/λ.
Случайное число r i заключено в интервале (0,1); следовательно, число 1 - r i , также случайное и принадлежит интервалу (0,1). Другими словами, величины R и 1 - R распределены одинаково. Поэтому для отыскания х i можно воспользоваться более простой формулой:
x i =- ln r i /λ.
Замечание 2. Известно, что (см. гл. XI, §3)
В частности,
Отсюда следует, что если известна плотность вероятности f (x ), то для разыгрывания Х можно вместоуравнений F (x i )=r i решить относительно x i уравнение
Правило 2. Для того чтобы найти возможное значение х i (непрерывной случайной величины X, зная ее плотность вероятности f (x ) надо выбрать случайное число r i и решить относительно х i , уравнение
или уравнение
где а- наименьшее конечное возможное значение X.
Пример 3. Задана плотность вероятности непрерывной случайной величины Х f (х )=λ (1-λх /2) в интервале (0; 2/λ); вне этого интервала f (х )= 0. Требуется найти явную формулу для разыгрывания возможных значений X.
Решение. Напишем в соответствии с правилом 2 уравнение
Выполнив интегрирование и решив полученное квадратное уравнение относительно х i , окончательно получим
Напомним предварительно, что если случайная величина R распределена равномерно в интервале (0,1), то ее математическое ожидание и дисперсия соответственно равны (см. гл. XII, § 1, замечание 3):
M (R )= 1/2, (*)
D (R )= 1/2. (**)
Составим сумму п независимых, распределенных равномерно в интервале (0,1) случайных величин R j (j =1, 2, ...,n):
Для нормирования этой суммы найдем предварительно ее математическое ожидание и дисперсию.
Известно, что математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых. Сумма (***) содержит п слагаемых, математическое ожидание каждого из которых в силу (*) равно 1/2; следовательно, математическое ожидание суммы (*** )
Известно, что дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме дисперсий слагаемых. Сумма (***) содержит n независимых слагаемых, дисперсия каждого из которых в силу (**) равна 1/12; следовательно, дисперсия суммы (***)
Отсюда среднее квадратическое отклонение суммы (***)
Пронормируем рассматриваемую сумму, для чего вычтем математическое ожидание и разделим результат на среднее квадратическое отклонение:
В силу центральной предельной теоремы при п→∞ распределение этой нормированной случайной величины стремится к нормальному с параметрами а= 0 и σ=1. При конечном п распределение приближенно нормальное. В частности, при п = 12 получим достаточно хорошее и удобное для расчета приближение
Правило. Для того чтобы разыграть возможное значение x i нормальной случайной величины Х с параметрами а=0 и σ=1, надо сложить 12 независимых случайных чисел и из полученной суммы вычесть 6:
Пример, а) Разыграть 100 возможных значений нормальной величины Х с параметрами а=0 и σ=1; б) оценить параметры разыгранной величины.
Решение. а) Выберем 12 случайных чисел из первой строки таблицы *) , сложимих и из полученной суммы вычтем 6; в итоге имеем
x i =(0,10+0,09+...+0,67) - 6= - 0,99.
Аналогично, выбирая из каждой следующей строки таблицы первые 12 чисел, найдем остальные возможные значения X.
б) Выполнив расчеты, получим искомые оценки:
Оценки удовлетворительные: а* близко к нулю, σ* мало отличается от единицы.
Замечание. Если требуется разыграть возможное значение z i , нормальной случайной величины Z с математическим ожиданием а и средним квадратическим отклонением σ , то, разыграв по правилу настоящего параграфа возможное значение x i , находят искомое возможное значение по формуле
z i =σx i +a.
Эта формула получена из соотношения (z i -a )/σ=x i .
Задачи
1. Разыграть 6 значений дискретной случайной величины X, закон распределения которой задан в виде таблицы
| X | 3,2 | ||
| p | 0,18 | 0,24 | 0,58 |
Указание. Для определенности принять, что выбраны случайные числа: 0,73; 0,75; 0,54; 0,08; 0,28; 0,53. Отв. 10; 10; 10; 2; 3; 22; 10.
2. Разыграть 4 испытания, в каждом из которых вероятность появления события А равна 0,52.
Указание. Для определенности принять, что выбраны случайные числа: 0;28; 0,53; 0,91; 0,89.
Отв. А, , .
3. Заданы вероятности трех событий, образующих полную группу: Р (А 1)=0,20, Р (А 2)=0,32, Р (А 3 )= 0,48. Разыграть 6 испытаний, в каждом из которых появляется одно из заданных событий.
Указание. Для определенности принять, что выбраны случайные числа: 0,77; 0,19; 0,21; 0,51; 0,99; 0,33.
Отв. А 3 , А 1 , А 2 , А 2 , А 3 , А 2 .
4. События А и В независимы и совместны. Разыграть 5 испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А равна 0,5, а события В- 0,8.
А 1 =АВ , для определенности принять случайные числа: 0,34; 0,41; 0,48; 0,21; 0,57.
Отв. А 1 , А 2 , А 2 , А 1 , А 3 .
5. События А, В, С независимы и совместны. Разыграть 4 испытания в каждом из которых вероятности появления событий заданы: Р (А )= 0,4, Р (В )= 0,6, Р (С )= 0,5.
Указание. Составить полную группу событий: для определенности принять, что выбраны случайные числа: 0,075; 0,907; 0,401; 0,344.
Отв.А 1 , А 8 , А 4 , А 4 .
6. События А и В зависимы и совместны. Разыграть 4 испытания, в каждом из которых заданы вероятности: Р (А )=0,7, Р (В )=0,6, Р (АВ )=0,4.
Указание. Составить полную группу событий: А 1 =АВ , для определенности принять случайные числа: 0,28; 0,53; 0,91; 0,89.
Отв. А 1 , А 2 , А 4 , А 3 .
7. Разыграть 3 возможных значения непрерывной случайной величины X, которая распределена по показательному закону и задана функцией распределения F (х )= 1 - е -10 x .
Указание. Для определенности принять, что выбраны случайные числа: 0,67; 0,79; 0,91.
Отв. 0,04; 0,02; 0,009.
8. Разыграть 4 возможных значения непрерывной случайной величины X, распределенной равномерно в интервале (6,14).
Указание. Для определенности принять, что выбраны случайные числа: 0,11: 0,04; 0,61; 0,93.
Отв. 6,88; 6,32; 10,88; 13,44.
9. Найти методом суперпозиции явные формулы для разыгрывания непрерывной случайной величины X, заданной функцией распределения
F (x )=1- (1/3)(2е- 2 x +е -3 x:), 0<х <∞.
Отв. х= - (1/2)1п r 2 , если r 1 < 2/3; х = - (1/3)1п r 2 , если r 1 ≥2/3.
10. Найти явную формулу для разыгрывания непрерывной случайной величины X, заданной плотностью вероятности f (х )=b /(1 +ax ) 2 в интервале 0≤x ≤1/(b-a ); вне этого интервала f(x)=0.
Отв. х i = - r i /(b - ar i ).
11. Разыграть 2 возможных значения нормальной случайной величины с параметрами: а) а =0, σ =1; б) а =2, σ =3.
Указание. Для определенности принять случайные числа (далее указано число сотых долей; например, числу 74 соответствует случайное число r 1 =0,74): 74. 10, 88, 82. 22, 88, 57, 07, 40, 15, 25, 70; 62, 88, 08, 78, 73, 95, 16, 05, 92, 21, 22, 30.
Отв. а) x 1 = - 0,22, x 2 = - 0.10; 6) z 1 =1,34, z 2 =2,70.
Глава двадцать вторая
Обозначим равномерно распределенную СВ в интервале (0, 1) через R, а ее возможные значения (случайные числа) - r j .
Разобьем интервал }
