Цель работы состоит в том, чтобы узнать весь теоретический материал по теме «Вписанные и описанные многогранники» и научиться применять его на практике.
Многогранники, вписанные в шар Выпуклый многогранник называется вписанным, если все его вершины лежат на некоторой сфере. Эта сфера называется описанной для данного многогранника. Центр этой сферы является точкой, равноудаленной от вершин многогранника. Она является точкой пересечения плоскостей, каждая из которых проходит через середину ребра многогранника перпендикулярно ему.
Пирамида, вписанная в шар Теорема: Около пирамиды можно описать сферу тогда и только тогда, когда около основания пирамиды можно описать окружность.
Формула для нахождения радиуса описанной сферы Пусть SABC - пирамида с равными боковыми ребрами, h - ее высота, R радиус окружности, описанной около основания. Найдем радиус описанной сферы. Заметим подобие прямоугольных треугольников SKO 1 и SAO. Тогда SO 1/SA = KS/SO; R 1 = KS · SA/SO Но KS = SA/2. Тогда R 1 = SA 2/(2 SO); R 1 = (h 2 +R 2)/(2 h); R 1 = b 2/(2 h), где b - боковое ребро.
Призма, вписанная в шар Теорема: Около призмы можно описать шар только в том случае, если призма является прямой и около ее основания можно описать окружность.
Параллелепипед, вписанный в шар Теорема: Сфера может быть описана около параллелепипеда тогда и только тогда, когда параллелепипед прямоугольный, так как в данном случае он является прямым и около его основания - параллелограмма может быть описана окружность (т. к. основание - прямоугольник).
Конус и цилиндр, вписанные в шар Теорема: Около всякого конуса можно описать сферу. Теорема: Около любого цилиндра можно описать сферу.
Задача 1 Найти радиус шара, описанного правильного тетраэдра с ребром а. около Решение: Предварительно построим на изображении правильного тетраэдра SABC изображение центра описанного шара. Проведем апофемы SD и AD (SD = AD). В равнобедренном треугольнике ASD каждая точка медианы DN равноудалена от концов отрезка AS. Поэтому точка O 1 есть пересечение высоты SO и отрезка DN. Используя формулу из R 1 = b 2/(2 h), получим: SO 1 = SA 2/(2 SO); SO = SO 1 = a 2/(2 a =a =)=a /4. Ответ: SO 1 = a /4.
Задача 2 В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна а, а плоский угол при вершине равен α. Найти радиус описанного шара. Решение: По формуле R 1=b 2/(2 h) для нахождения радиуса описанного шара найдем SC и SO. SC = a/(2 sin(α/2)); SO 2). (a/(2 sin(α/2))2 – (a /2)2 = =). = a 2/(4 sin 2(α/2)) – 2 a 2/4 = = a 2/(4 sin 2(α/2)) · (1 – 2 sin 2(α/2)) = = a 2/(4 sin 2(α/2)) · cosα R 1 = a 2/(4 sin 2(α/2)) · 1/(2 a Ответ: R 1 = a/(4 sin(α/2) · /(2 sin(α/2))) = a/(4 sin(α/2) ·
Многогранники, описанные около шара Выпуклый многогранник называется описанным, если все его грани касаются некоторой сферы. Эта сфера называется вписанной для данного многогранника. Центром вписанной сферы является точка, равноудаленная от всех граней многогранника.
Положение центра вписанной сферы Понятие биссекторной плоскости двугранного угла. Биссекторной называется плоскость, делящая двугранный угол на два равных двугранных угла. Каждая точка этой плоскости равноудалена от граней двугранного угла. В общем случае центр вписанной в многогранник сферы является точкой пересечения биссекторных плоскостей всех двугранных углов многогранника. Он всегда лежит внутри многогранника.
Пирамида, описанная около шара Шар, называется вписанным в (произвольную) пирамиду, если он касается всех граней пирамиды (как боковых, так и основания). Теорема: Если боковые грани одинаково наклонены к основанию, то в такую пирамиду можно вписать шар. Так как двугранные углы при основании равны, то их половинки тоже равны биссектрисы пересекаются в одной точке на высоте пирамиды. Эта точка принадлежит всем биссекторным плоскостям при основании пирамиды и равноудалена от всех граней пирамиды – центр вписанного шара.
Формула для нахождения радиуса вписанной сферы Пусть SABC - пирамида с равными боковыми ребрами, h - ее высота, r радиус вписанной окружности. Найдем радиус описанной сферы. Пусть SO = h, OH = r, O 1 O = r 1. Тогда по свойству биссектрисы внутреннего угла треугольника O 1 O/OH = O 1 S/SH; r 1/r = (h – r 1)/ ; r 1 · = rh – rr 1; r 1 · (+ r) = rh; r 1 = rh/(+ r). Ответ: r 1 = rh/(+ r).
Призма, описанная около шара Теорема: Сферу можно вписать в призму тогда и только тогда, когда призма прямая и в основание можно вписать окружность, диаметр которой равен высоте призмы.
Параллелепипед и куб, описанные около шара Теорема: В параллелепипед можно вписать сферу тогда и только тогда, когда параллелепипед прямой и его основание ромб, причем высота этого ромба есть диаметр вписанной сферы, который, в свою очередь, равен высоте параллелепипеда. (Из всех параллелограммов только в ромб можно вписать окружность) Теорема: В куб всегда можно вписать сферу. Центр этой сферы точка пересечения диагоналей куба, а радиус равен половине длины ребра куба.
Цилиндр и конус, описанные около шара Теорема: Сферу можно вписать лишь в такой цилиндр, высота которого равна диаметру основания. Теорема: Во всякий конус можно вписать сферу.
Комбинации фигур Вписанная и описанная призмы Призма, вписанная в цилиндр – призма, у которой плоскостями оснований являются плоскости оснований цилиндра, а боковыми ребрами – образующие цилиндра. Касательная плоскость к цилиндру – плоскость, проходящая через образующую цилиндра и перпендикулярная плоскости осевого сечения, содержащей эту образующую. Призма, описанная около цилиндра – призма, у которой плоскостями оснований являются плоскости оснований цилиндра, а боковые грани касаются цилиндра.
Вписанная и описанная пирамиды Пирамида, вписанная в конус – пирамида, основание которой есть многоугольник, вписанный в окружность основания конуса, а вершиной является вершина конуса. Боковые ребра пирамиды, вписанной в конус – образующие конуса. Касательная плоскость к конусу – плоскость, проходящая через образующую и перпендикулярная плоскости осевого сечения, содержащей эту образующую. Пирамида, описанная около конуса – пирамида, у которой основанием служит многоугольник, описанный около основания конуса, а вершина совпадает с вершиной конуса. Плоскости боковых граней описанной пирамиды – касательные плоскости конуса.
Другие виды конфигураций Цилиндр вписан в пирамиду, если окружность одного его основания касается всех боковых граней пирамиды, а другое его основание лежит на основании пирамиды. Конус вписан в призму, если его вершина лежит на верхнем основании призмы, а его основание – круг, вписанный в многоугольник – нижнее основание призмы. Призма вписана в конус, если все вершины верхнего основания призмы лежат на боковой поверхности конуса, а нижнее основание призмы лежит на основании конуса.
Задача 1 В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна а, а плоский угол при вершине равен α. Найдите радиус вписанного в пирамиду шара. Решение: Выразим стороны ∆SOK через а и α. OK = a/2. SK = KC · ctg(α/2); SK = (a · ctg(α/2))/2. SO = = (a/2) Использую формулу r 1 = rh/(+ r), найдем радиус вписанного шара: r 1 = OK · SO/(SK + OK); r 1 = (a/2) · (a/2) /((a/2) · ctg(α/2) + (a/2)) = = (a/2) /(ctg(α/2) + 1) = (a/2) Ответ: r 1 = (a/2) =
Вывод Тема «Многогранники» изучается учениками в 10 и 11 классах, но в учебной программе очень мало материала на тему «Вписанные и описанные многогранники» , хотя она вызывает очень большой интерес у учащихся, так как изучение свойств многогранников способствует развитию абстрактного и логического мышления, что впоследствии пригодится нам в учебе, работе, жизни. Работая над данным рефератом, мы изучили весь теоретический материал на тему «Вписанные и описанные многогранники» , рассмотрели возможные комбинации фигур и научились применять весь изученный материал на практике. Задачи на комбинацию тел – наиболее трудный вопрос курса стереометрии 11 класса. Но теперь мы с уверенностью можем сказать, что у нас не возникнет проблем при решении подобных задач, так как в ходе нашей исследовательской работы мы установили и доказали свойства вписанных и описанных многогранников. Очень часто у учащихся возникают трудности при построении чертежа к задаче на данную тему. Но, узнав, что для решения задач на комбинацию шара с многогранником изображение шара бывает излишним и достаточно указать его центр и радиус, мы можем быть уверены, что данных трудностей у нас не возникнет. Благодаря данному реферату мы смогли разобраться в этой трудной, но очень увлекательной теме. Мы надеемся, что теперь у нас не возникнет трудностей применении изученного материала на практике.
Многогранник называется вписанным в сферу, если все его вершины принадлежат этой сфере. Сама сфера при этом называется описанной около многогранника.
Теорема. Около пирамиды можно описать сферу тогда и только тогда, когда около основания этой пирамиды можно описать окружность.
Многогранники, вписанные в сферу
Теорема. Около призмы можно описать сферу тогда и только тогда, когда около основания этой призмы можно описать окружность. Ее центром будет точка O , являющаяся серединой отрезка, соединяющего центры окружностей, описанных около оснований призмы. Радиус сферы R вычисляется по формуле
где h – высота призмы, r – радиус окружности, описанной около основания призмы.
В режиме слайдов ответы и решения появляются после кликанья мышкой
Упражнение 1
Можно ли описать сферу около прямоугольного параллелепипеда?
Ответ: Да. Ее центром является точка пересечения диагоналей, а радиус равен половине диагонали параллелепипеда
Упражнение 2
Можно ли описать сферу около наклонного параллелепипеда, все грани которого ромбы?
Ответ: Нет.
Упражнение 3
Можно ли описать сферу около наклонной призмы?
Ответ: Нет.
Упражнение 4
Может ли центр сферы, описанной около призмы, находится вне призмы?
Ответ: Да, если в основании призмы – тупоугольный треугольник.
Упражнение 5
Может ли центр сферы, описанной около пирамиды, находится вне этой пирамиды?
Ответ: Да.
Сфера, описанная около куба
В режиме слайдов ответы и решения появляются после кликанья мышкой
Упражнение 1
Найдите радиус сферы, описанной около единичного куба.
Упражнение 2
Найдите ребро куба, вписанного в единичную сферу.
Упражнение 3
Найдите радиус сферы, описанной около прямоугольного параллелепипеда, ребра которого, выходящие из одной вершины, равны 1, 2, 3.
Упражнение 4
Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 1 и 2. Радиус описанной сферы равен 1,5 . Найдите третье ребро, выходящее из той же вершины параллелепипеда.
Сфера, описанная около тетраэдра
В режиме слайдов ответы и решения появляются после кликанья мышкой
Упражнение 1
Найдите радиус сферы, описанной около единичного тетраэдра.
Решение. В тетраэдре SABC имеем:
BE = SE =
В прямоугольном треугольнике OBE имеем:
R , находим
Упражнение 2
Найдите ребро правильного тетраэдра, вписанного в единичную сферу.
Упражнение 3
Основанием пирамиды служит правильный треугольник, сторона которого равна 3. Одно из боковых ребер равно 2 и перпендикулярно плоскости основания. Найдите радиус описанной сферы.
Решение. Пусть O – центр описанной сферы, Q – центр окружности, описанной около основания, E – середина SC . Четырехугольник CEOQ – прямоугольник, в котором CE = 1, CQ = Следовательно, R=OC= 2.
Ответ: R = 2.
Упражнение 4
На рисунке изображена пирамида SABC , для которой ребро SC равно 2 и перпендикулярно плоскости основания ABC , угол ACB равен 90 о, AC = BC = 1 . Постройте центр сферы, описанной около этой пирамиды и найдите ее радиус.
Решение. Через середину D ребра AB проведем прямую, параллельную SC . Через середину E ребра SC проведем прямую параллельную CD . Их точка пересечения O будет искомым центром описанной сферы. В прямоугольном треугольнике OCD имеем:
OD = CD = По теореме
Пифагора, находим
Упражнение 5
Найдите радиус сферы, описанной около правильной треугольной пирамиды, боковые ребра которой равны 1, и плоские углы при вершине равны 90 о.
Решение. В тетраэдре SABC имеем:
AB = AE = SE =
В прямоугольном треугольнике OAE имеем:
Решая это уравнение относительно R , находим
Сфера, описанная около треугольной призмы
В режиме слайдов ответы и решения появляются после кликанья мышкой
Упражнение 1
Найдите радиус сферы, описанной около правильной призмы, все ребра которой равны 1.
Решение. Имеем:
AA 1 = 1, AD = OD =
Следовательно, R = AO =
Упражнение 2
Около правильной треугольной призмы, сторона основания которой равна 1, описана сфера радиуса 2. Найдите высоту призмы.
Решение. Имеем: AO = 2, OD =
Следовательно, h = AA 1 = 2 AO =
Упражнение 3
Около правильной треугольной призмы, высота которой равна 1, описана сфера радиуса 1. Найдите сторону основания призмы.
Решение. Имеем: AO = 1 , OD =
Следовательно, AD =
Значит, AB =
Упражнение 4
Найдите радиус сферы, описанной около прямой треугольной призмы, в основании которой прямоугольный треугольник с катетами, равными 1, и высота призмы равна 2.
Решение. Радиус сферы равен половине диагонали A 1 C прямоугольника ACC 1 A 1 .
Имеем: AA 1 = 2, AC =
Следовательно, R =
Сфера, описанная около правильной шестиугольной призмы
В режиме слайдов ответы и решения появляются после кликанья мышкой
Упражнение
Найдите радиус сферы, описанной около правильной шестиугольной призмы, все ребра которой равны 1.
Решение. Имеем AG = 1, OG =
Следовательно, R=AO=
Сфера, описанная около правильной четырехугольной пирамиды
В режиме слайдов ответы и решения появляются после кликанья мышкой
Упражнение
Найдите радиус сферы, описанной около правильной четырехугольной пирамиды, все ребра которой равны 1.
Сфера, описанная около правильной шестиугольной пирамиды
В режиме слайдов ответы и решения появляются после кликанья мышкой
Упражнение
Найдите радиус сферы, описанной около правильной 6-угольной пирамиды, ребра основания которой равны 1, а боковые ребра - 2.
Решение. Треугольник SAD – равносторонний со стороной 2. Радиус R описанной сферы равен радиусу окружности, описанной около треугольника SAD . Следовательно,
Сфера, описанная около октаэдра
В режиме слайдов ответы и решения появляются после кликанья мышкой
Упражнение
Найдите радиус сферы, описанной около единичного октаэдра.
Решение. Радиус R описанной сферы равен половине диагонали квадрата ABCD со стороной 1. Следовательно,
Сфера, описанная около икосаэдра
В режиме слайдов ответы и решения появляются после кликанья мышкой
Упражнение
Найдите радиус сферы, описанной около единичного икосаэдра.
Решение. В прямоугольнике ABCD AB = CD = 1, BC и AD – диагонали правильных пятиугольников со сторонами 1. Следовательно,
BC = AD =
По теореме Пифагора AC =
Искомый радиус равен половине этой диагонали, т.е.
Упражнение
Найдите радиус сферы, описанной около единичного додекаэдра.
Решение. ABCDE – правильный пятиугольник со стороной
В прямоугольнике ACGF AF = CG = 1, AC и FG – диагонали пятиугольника ABCDE и, следовательно, AC = FG =
По теореме Пифагора
FC = Искомый радиус
равен половине этой диагонали, т.е.
Упражнение
На рисунке изображен усеченный тетраэдр, получаемый отсечением от углов правильного тетраэдра треугольных пирамид, гранями которого являются правильные шестиугольники и треугольники. Найдите радиус сферы, описанной около усеченного тетраэдра, ребра которого равны 1.
Упражнение
На рисунке изображен усеченный куб, получаемый отсечением от углов куба треугольных пирамид, гранями которого являются правильные восьмиугольники и треугольники. Найдите радиус сферы, описанной около усеченного куба, ребра которого равны 1.
Упражнение
На рисунке изображен усеченный октаэдр, получаемый отсечением от углов октаэдра треугольных пирамид, гранями которого являются правильные шестиугольники и треугольники. Найдите радиус сферы, описанной около усеченного октаэдра, ребра которого равны 1.
Упражнение
На рисунке изображен усеченный икосаэдр, получаемый отсечением от углов икосаэдра пятиугольных пирамид, гранями которого являются правильные шестиугольники и пятиугольники. Найдите радиус сферы, описанной около усеченного икосаэдра, ребра которого равны 1.
Упражнение
На рисунке изображен усеченный додекаэдр, получаемый отсечением от углов додекаэдра треугольных пирамид, гранями которого являются правильные десятиугольники и треугольники. Найдите радиус сферы, описанной около усеченного додекаэдра, ребра которого равны 1.
Упражнение
Найдите радиус сферы, описанной около единичного кубооктаэдра
Решение. Напомним, что кубооктаэдр получается из куба отсечением правильных треугольных пирамид с вершинами в вершинах куба и боковыми ребрами, равными половине ребра куба. Если ребро октаэдра равно 1, то ребро соответствующего куба равно Радиус описанной сферы равен расстоянию от центра куба до середины его ребра, т.е. равен 1.
Ответ: R = 1.
Многогранники, вписанные в шар. Основные определения и теоремы. Определение. Сфера называется описанной около многогранника (или многогранник, вписанным в сферу), если все вершины многогранника лежат на этой сфере.
Слайд 8 из презентации ««Задачи по геометрии» 11 класс» . Размер архива с презентацией 1032 КБ.Геометрия 11 класс
краткое содержание других презентаций«Объёмы геометрических тел» - Объемы многогранников. Понятие объема. Объем пирамиды. Конус выноса. Объем прямой призмы. Ответ. Науки стремятся к математике. Успеха в изучении материала. Объем прямоугольного параллелепипеда. Рисунки и чертежи. Объем правильной четырехугольной пирамиды. Свойства площадей. Площадь. Ребро куба. Понятие объема тел. Квадрат. Объем цилиндра. Конус. Многоугольник. Геометрические фигуры. Три латунных куба.
«Векторы в пространстве» - Координаты вектора. Разности. Векторы в пространстве. Разность двух векторов. Умножение двух векторов. Действия с векторами. Единственный вектор. Умение выполнять действия. Правило многоугольника. Соноправленные векторы. Определение вектора. Действие с векторами. Векторы являются некомпланарными. Решение.
«Геометрические задачи в ЕГЭ» - Площадь поверхности многогранника. Найдите тангенс внешнего угла. В создании презентации принимали участие. Варианты задач. Площадь треугольника. Площадь трапеции. Найдите площадь треугольника. Площадь части круга. Основной справочный материал. Планиметрия. Типичные ошибки. Основы геометрии. Устные упражнения. Возможные задания. Уметь выполнять действия с геометрическими фигурами. Найдите объем многогранника.
«Вычислить объём тела вращения» - Конус. Найдите объём. Шар. Цилиндр и конус. Цилиндр. Объём конуса. Сфера. Виды тел вращения. Фигура. Объём V конуса. Определение конуса. Цилиндрический сосуд. Определение цилиндра. Цилиндры вокруг нас. Объёмы тел вращения. Куб. Радиусы.
«Координаты вектора в пространстве» - Учебник. Решение. Абсолютная величина. Сумма векторов. Разность векторов. Общее начало. Координата. Рисунок. Величина и направление вектора. Произведение вектора. Длина отрезка. Действия над векторами в пространстве. Плоскости. Доказательство. Скалярное произведение векторов. Векторы в пространстве.
««Движение» 11 класс» - Симметрия в архитектуре. Осевая симметрия. Параллельный перенос. Движение. Симметрия в растениях. Скользящая симметрия. Симметрия в животном мире. Введение. Поворот. Центральная симметрия. Движение. Зеркальная симметрия.
Учитель математики средней школы №2,
города Талдыкоргана Н.Ю.Лозович
Открытый урок по геометрии
Тема урока: «Шар. Вписанные и описанные многогранники»
Цели урока:
- образовательная - обеспечить на уроке повторение, закрепление и проверку усвоения учащимися определений шара и сферы, и связанных с ними понятий (центр, радиусы, диаметры, диаметрально противоположные точки, касательные плоскости и прямые); понятий вписанного и описанного многогранников, знания теорем о сечении шара плоскостью (20.3), о симметрии шара (20.4), о касательной плоскости к шару (20.5), о пересечении двух сфер (20.6), о построении центра сферы описанной (вписанной) в правильную пирамиду и о построении центра сферы описанной около правильной призмы;
продолжить формирование умений самостоятельно применять всю совокупность этих знаний в вариативных ситуациях по образцу и нестандартных, требующих творческой деятельности;
воспитательная - воспитывать у учащихся ответственность за результаты учения, упорство в достижении цели, уверенность в своих силах, желание добиваться больших результатов, чувство прекрасного (красота геометрических форм, изящное, красивое решение задачи).
развивающая - развивать у учащихся: способность к конкретному и обобщенному мышлению, творческое и пространственное воображение; ассоциативность (способность опираться на разные связи: по сходству, аналогии, контрасту, причинно-следственные), умение логично и последовательно излагать свою мысль, потребность в учении и развитии, создать на уроке условия для проявления познавательной активности учащихся.
Тип урока
урок проверки и коррекции знаний и умений.
Методы обучения
Вступительная беседа (постановка цели урока, мотивация учебной деятельности учащихся, создание необходимой эмоционально - нравственной атмосферы, инструктаж учащихся по организации работы на уроке).
Фронтальный опрос (устная проверка знаний учащимися основных понятий, теорем, умений объяснять их сущность, аргументировать свои рассуждения).
Уровневая самостоятельная работа, исходящая из принципа постепенного нарастания уровня знаний и умений, т.е. от репродуктивного уровня до продуктивного и творческого. Сущность метода - постоянно контролируемая и поощряемая учителем индивидуальная самостоятельная работа учащихся.
Учебно-наглядные пособия
Стереометрические модели геометрических тел, плакаты, рисунки, дидактические карточки для индивидуальной самостоятельной работы.
Актуализация
а) Опорные знания.
Необходимо активизировать понятия: касательной к окружности, выпуклых многоугольников, вписанных в окружность и описанных около окружности, вычисление радиусов вписанных и описанных окружностей для правильных многоугольников из планиметрии; из курса 10-го класса определение симметрии относительно плоскости, понятие фигур, симметричных относительно точки, оси (прямой), плоскости.
б) Способы формирования мотивов, возбуждения интереса.
Во вступительной беседе обеспечить осознание цели учениками, вызнать их личное заинтересованное отношение к ее достижению, раскрыть значение цели для самих школьников, подчеркнуть значимость этой темы не только самой по себе, но и ее пропедевтический характер для изучения следующей темы, насытить урок материалом эмоционального характера (красота геометрических форм, мыльные пузыри, Земля и Луна); подчеркнуть уровневый характер самостоятельной работы: с одной стороны, таким образом будет обеспечен высокий научный уровень изучаемого материала, а с другой стороны - доступность, пера учащихся в то, что каждый из них имеет право на педагогическую поддержку («страховку») по выявлению, анализу реальных или потенциальных проблем ребенка, совместному проектированию возможного выхода из них; рейтинговая система оценки знаний является дополнительным стимулом для ребят.
в) Формы контроля за ходом работы, взаимоконтроля. Взаимоконтроль (обмен тетрадями) осуществляется после выполнения учащимися первой части 1-го (ученического) уровня самостоятельной работы - письменных ответов учеников на устные вопросы учителя (математический диктант).
После взаимообмена тетрадями вслух проговариваются все правильные ответы (по возможности используются наглядные пособия: модели стереометрических тел, рисунки, плакаты). Затем ребята приступают к рейтинговой оценке выполнения первой части самостоятельной работы: правильный полный ответ оценивается в 1 балл, если есть несущественные замечания, то - 0,5 балла, в Противном случае - 0 баллов. Количество набранных баллов каждым учеником фиксируется на доске учителем. После чего ребята приступают к работе по индивидуальным карточкам. Те, кто выполнил задания 1-го уровня и получил от учителя «добро», Переходят к выполнению задания следующего уровня. Успех решения Задачи не должен оставаться без внимания, поощрения, похвалы. Параллельно учитель проводит коррекционную работу: понимая сильные и слабые стороны ученика, помогает ему опереться на свои силы и дополняет его там, где школьник, как бы ни старался, объективно пока с чем-то справиться не может.
При проверке работы используется следующая система обозначений:
Задача не решена;
Задача не решена, но в работе есть некоторые разумные соображения;
Дан только ответ в задаче, где одного ответа явно недостаточно;
± - задача решена, но решение содержит мелкие пропуски и неточности;
Задача полностью решена;
+! – решение задачи содержит неожиданные яркие идеи.
Большое значение придается листу открытого учета деятельности ребят, который заполняется по мере выполнения самостоятельной работы.
| I уровень | II уровень | III уровень | IV уровень | ||||||||
| Алипбаева А | |||||||||||
| Ахметкалиев А. | |||||||||||
Таким образом обеспечиваются непременные условия оценивания знаний учащихся на уроках - объективность, оперативность, доброжелательность и гласность.
I уровень
Математический диктант.
1) I вариант. Каким свойством обладают все вершины вписанного в сферу многогранника?
II вариант. Каким свойством обладает каждая грань вписанного в сферу многогранника?
2) I вариант. Если около какого-то многогранника можно описать сферу, то как построить ее центр?
II вариант. О коло каких параллелепипедов можно описать сферу? Ответ поясните.
3) I вариант. Где лежит центр сферы, описанной около правильной п -угольной призмы?
II вариант. Где лежит центр сферы, описанной около правильной пирамиды?
4) I вариант. Как построить центр сферы, вписанной в правильную n -угольную пирамиду?
// вариант. В любую ли правильную призму можно вписать сферу?
I вариант
I уровень
Радиус шара 6 см, через конец радиуса проведена плоскость под углом 60° к нему. Найдите площадь сечения.
II уровень
Правильная четырехугольная призма вписана в шар радиуса 5 см. Ребро основания призмы равно 4 см. Найдите высоту призмы.
III уровень
Вычислите радиус сферы, вписанной в правильный тетраэдр с ребром 4см.
IV уровень
Шар радиуса R вписан в усеченный конус. Угол наклона образующей к плоскости нижнего основания конуса равен а. Найдите радиусы оснований и образующую усеченного конуса.
II вариант
I уровень
Шар, радиус которого 10 см, пересечен плоскостью на расстоянии 6 см от центра. Найдите площадь сечения.
II уровень
Найдите радиус шара, описанного около куба со стороной 4 см.
III уровень.
а. Найдите радиус описанного шара.
IV уровень
Шар радиуса R вписан в усеченный конус. Угол наклона образующей к плоскости нижнего основания конуса равен а. Найдите радиусы оснований и образующую усеченного конуса.
Ш вариант
I уровень
Через середину радиуса шара проведена перпендикулярная ему плоскость. Как относится площадь большого круга к площади полученного сечения?
II уровень
Правильная треугольная призма вписана в шар радиуса 4 см. Ребро основания призмы равно 3 см. Найдите высоту призмы.
III уровень
В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна 4 см, а плоский угол при вершине равен а. Найдите радиус вписанного шара.
IV уровень
В шар радиуса R вписана правильная треугольная пирамида с плоскими углами а при ее вершине. Найдите высоту пирамиды.
IV вариант
I уровень
На поверхности шара даны три точки. Прямолинейные расстояния между ними 6см, 8см, 10 см. Радиус шара 11 см. Найдите расстояние от центра шара до плоскости, проходящей через эти точки.
II уровень
Правильная шестиугольная призма вписана в шар радиуса 5 см. Ребро основании призмы равно 3 см. Найдите высоту приемы.
Ш уровень
Найдите радиус шара, описанного около правильной n-угольной пирамиды, если сторона основания равна 4 см, а боковое ребро наклонено к плоскости основания под утлом а.
IV уровень
В шар радиуса R вписана правильная треугольная пирамида с плоскими углами а при ее вершине. Найдите высоту пирамиды.
Итог урока
Объявляются и анализируются результаты выполнения самостоятельной работы. Учащиеся, которые нуждаются в коррекционной работе, приглашаются на уроки коррекции.
Задается домашнее задание (с необходимыми комментариями), состоящее из обязательной и вариативной частей.
Обязательная часть: п. 187 - 193 - повторить; №44,45,39
Вариативная часть № 35
Определение. Сфера называется вписанной в многогранник , если плоскости всех граней многогранника касаются сферы в тачках, расположенных внутри этих граней. При этом многогранник называется описанным около сферы.
Теорема 1. В произвольный тетраэдр можно вписать сферу (шар).
Множество точек, равноудаленных от боковых граней тетраэдра есть прямая пересечения двух биссекторных плоскостей двугранных углов при двух боковых ребрах. Эту прямую пересечет биссекторная плоскость двугранного угла при основании. Полученная точка равноудалена от всех граней тетраэдра.
В тетраэдре ABCD плоскости CDN и ADM являются биссекторными плоскостями двугранных углов при боковых ребрах CD и AD. Они пересекаются по прямой OD. Плоскость AKC является бисссекторной плоскостью двугранного угла при основании (ребро AC). Эта плоскость пересечет прямую OD в точке S (P – точка пересечения прямых DM и KC, принадлежащая плоскостям AKC и ADM одновременно, следовательно точка S – точка пересечения AP и OD), которая будет являться точкой, равноудаленной от всех граней тетраэдра и, следовательно, будет являться центром сферы, вписанной в тетраэдр ABCD.
Пример 1 . Найти радиус сферы, вписанной в правильный тетраэдр.
Рассмотрим подобные треугольники DPS и DOK (по двум углам: угол D – общий, углы DPS и DOK – прямые).
Тогда PS:KO=DS:DK,
если учесть, что PS=r=SO и DS=DO-SO=DO-r,
, , то 
.
Ответ: радиус сферы, вписанной в правильный тетраэдр равен
Теорема 2. В правильную пирамиду можно вписать сферу.
Теорема 3. В правильную усеченную пирамиду можно вписать сферу тогда и только тогда, когда ее апофема равна сумме радиусов окружностей, вписанных в ее основания.
Теорема 4. В любую призму можно вписать сферу, если в ее перпендикулярное сечение можно вписать окружность, радиус которой равен половине высоты призмы.
Теорема 5. В правильную призму можно вписать сферу тогда и только тогда, когда высота призмы равна диаметру окружности, вписанной в ее основание.
Сферы, описанные около цилиндра, конуса и
Усеченного конуса.
Определение. Сфера называется описанной около цилиндра или усеченного конуса , если все точки окружностей оснований принадлежат сфере; Сфера называется описанной около конуса , если все точки окружности основания, а также вершина конуса принадлежат сфере.
В этих случаях говорят, что цилиндр, усеченный конус или конус вписан в сферу.
Теорема 1. Около произвольного цилиндра можно описать сферу.
О 1 и О 2 – центры нижнего и верхнего основания соответственно. Прямая О 1 О 2 перпендикулярна плоскостям основания. Проведем плоскость, проходящую через середину образующей цилиндра, перпендикулярно этой образующей. Эта плоскость будет параллельна плоскостям основания и пересекать прямую О 1 О 2 в точке О, которая и будет являться центром сферы, описанной около цилиндра. Расстояние от точки О до всех точек основания будет равным, так как О 1 О 2 является ГМТ, равноудаленных от окружности (прямая, проходящая через центр окружности и перпендикулярна плоскости окружности). Значит точка О является центром сферы с радиусом ОА, описанной около цилиндра.
Теорема 2. Около усеченного конуса можно описать сферу.
О 1 и О 2 – центры нижнего и верхнего основания соответственно. Прямая О 1 О 2 перпендикулярна плоскостям основания. Рассмотрим образующую усеченного конуса АВ. Найдем ГМТ, равноудаленных от тачек А и В. Им будет являть плоскость, проходящая через точку Р – середину АВ и перпендикулярная этой прямой. Эта плоскость пересечет О 1 О 2 в точке О, которая будет равноудалена от точек А и В. Также очевидно, что точка О будет равноудалена от все точек оснований усеченного конуса. Следовательно эта точка О будет являться центром сферы с радиусом ОА, описанной около усеченного конуса.
Теорема 3. Около конуса можно описать сферу.
Аналогично прошлой теореме ОА – высота конуса, которая является ГМТ, равноудаленных от окружности. Рассмотрим образующую АВ и найдем ГМТ, равноудаленных от А и В. Полученная плоскость (по предыдущей задаче) пересечет ОА в точке О 1 , которая будет равноудалена от точек А и В, как и от любых точек основания конуса. Таким образом мы получили, что точка О 1 является центром сферы с радиусом О 1 А, описанной около конуса.
